Teoria algebrica dei numeri e Teoria analitica dei numeri..
Qualcuno mi dice qual'è la differenza tra questi 2 campi? E se ci sono altre sottocategoria importanti riguardo la teoria dei numeri?
Grazie!
Grazie!
Risposte
Vi chiedo scusa, sarebbe bastata una piccola ricerca su google per trovare subito tutto... 
In ogni caso riporto qua quello che dice wikipedia.. magari interessa a qualcun'altro:
Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di divisibilità, l'algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore, la fattorizzazione di interi in numeri primi, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze. Tipiche asserzioni sono il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Eulero (che è una sua generalizzazione), il teorema cinese del resto e la legge di reciprocità quadratica. Vengono indagate le proprietà delle funzioni moltiplicative come la funzione di Möbius e la funzione φ di Eulero; come pure le sequenze di interi come i fattoriali e i numeri di Fibonacci.
Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e (allo stato attuale) richiedono nuove idee. Esempi sono:
la congettura di Goldbach che riguarda l'espressione dei numeri pari come somma di numeri primi,
la congettura dei numeri primi gemelli riguardo all'esistenza di infiniti primi gemelli, e
la congettura di Collatz che riguarda le condizioni di terminazione di un algoritmo iterativo.
è stato dimostrato che la teoria delle equazioni diofantee è indecidibile (vedi il decimo problema di Hilbert).
La teoria dei numeri analitica sfrutta i meccanismi del calcolo infinitesimale e dell' analisi complessa per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il teorema dei numeri primi e la collegata ipotesi di Riemann. Anche problemi della teoria dei numeri elementare come il problema di Waring (rappresentare un numero dato come somma di quadrati, cubi, ecc.), la congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach vengono attaccati con metodi analitici. Anche le dimostrazioni di trascendenza delle costanti matematiche, come π o e, vengono classificate nella teoria dei numeri analitica. Mentre le affermazioni sui numeri trascendenti sembrerebbero non riguardare i numeri interi, esse studiano in realtà la possibilità di certi numeri di essere rappresentati come radici di un polinomio a coefficienti interi; i numeri trascendenti sono inoltre strettamente collegati all'approssimazione Diofantea, che studia la precisione con cui un dato numero reale può essere approssimato da un numero razionale.
Nella teoria dei numeri algebrica, il concetto di numero viene generalizzato a quello di numero algebrico che è radice di un polinomio a coefficienti interi. Questi domini contengono elementi analoghi agli interi, chiamati interi algebrici. In questo ambiente, è possibile che le proprietà familiari dei numeri interi (come l'unicità della fattorizzazione) non siano più verificate. La forza degli strumenti utilizzati -- teoria di Galois, coomologia dei campi, teoria dei campi delle classi, rappresentazioni dei gruppi e funzioni L -- è quella di consentire (almeno in parte) di recuperare l'ordine per questa nuova classe di numeri.
Molti problemi di teoria dei numeri vengono attaccati più facilmente studiandole modulo p per tutti i numeri primi p (vedi campi finiti). Questo metodo è chiamato localizzazione e porta alla costruzione dei numeri p-adici; questo settore di studi è chiamato analisi locale e nasce dalla teoria dei numeri algebrica.
La teoria geometrica dei numeri incorpora tutte le forme di geometria. Comincia con il teorema di Minkowski sui punti reticolari negli insiemi convessi e lo studio dell'impacchettamento delle sfere. Viene spesso impiegata anche la geometria algebrica, specialmente la teoria delle curve ellittiche. Il famoso ultimo teorema di Fermat fu dimostrato utilizzando queste tecniche.
Infine, la teoria dei numeri computazionale studia algoritmi importanti nella teoria dei numeri. Algoritmi efficienti per la verifica della primalità e la fattorizzazione di interi hanno importanti applicazioni nella crittografia.
In ogni caso riporto qua quello che dice wikipedia.. magari interessa a qualcun'altro:
Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di divisibilità, l'algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore, la fattorizzazione di interi in numeri primi, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze. Tipiche asserzioni sono il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Eulero (che è una sua generalizzazione), il teorema cinese del resto e la legge di reciprocità quadratica. Vengono indagate le proprietà delle funzioni moltiplicative come la funzione di Möbius e la funzione φ di Eulero; come pure le sequenze di interi come i fattoriali e i numeri di Fibonacci.
Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e (allo stato attuale) richiedono nuove idee. Esempi sono:
la congettura di Goldbach che riguarda l'espressione dei numeri pari come somma di numeri primi,
la congettura dei numeri primi gemelli riguardo all'esistenza di infiniti primi gemelli, e
la congettura di Collatz che riguarda le condizioni di terminazione di un algoritmo iterativo.
è stato dimostrato che la teoria delle equazioni diofantee è indecidibile (vedi il decimo problema di Hilbert).
La teoria dei numeri analitica sfrutta i meccanismi del calcolo infinitesimale e dell' analisi complessa per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il teorema dei numeri primi e la collegata ipotesi di Riemann. Anche problemi della teoria dei numeri elementare come il problema di Waring (rappresentare un numero dato come somma di quadrati, cubi, ecc.), la congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach vengono attaccati con metodi analitici. Anche le dimostrazioni di trascendenza delle costanti matematiche, come π o e, vengono classificate nella teoria dei numeri analitica. Mentre le affermazioni sui numeri trascendenti sembrerebbero non riguardare i numeri interi, esse studiano in realtà la possibilità di certi numeri di essere rappresentati come radici di un polinomio a coefficienti interi; i numeri trascendenti sono inoltre strettamente collegati all'approssimazione Diofantea, che studia la precisione con cui un dato numero reale può essere approssimato da un numero razionale.
Nella teoria dei numeri algebrica, il concetto di numero viene generalizzato a quello di numero algebrico che è radice di un polinomio a coefficienti interi. Questi domini contengono elementi analoghi agli interi, chiamati interi algebrici. In questo ambiente, è possibile che le proprietà familiari dei numeri interi (come l'unicità della fattorizzazione) non siano più verificate. La forza degli strumenti utilizzati -- teoria di Galois, coomologia dei campi, teoria dei campi delle classi, rappresentazioni dei gruppi e funzioni L -- è quella di consentire (almeno in parte) di recuperare l'ordine per questa nuova classe di numeri.
Molti problemi di teoria dei numeri vengono attaccati più facilmente studiandole modulo p per tutti i numeri primi p (vedi campi finiti). Questo metodo è chiamato localizzazione e porta alla costruzione dei numeri p-adici; questo settore di studi è chiamato analisi locale e nasce dalla teoria dei numeri algebrica.
La teoria geometrica dei numeri incorpora tutte le forme di geometria. Comincia con il teorema di Minkowski sui punti reticolari negli insiemi convessi e lo studio dell'impacchettamento delle sfere. Viene spesso impiegata anche la geometria algebrica, specialmente la teoria delle curve ellittiche. Il famoso ultimo teorema di Fermat fu dimostrato utilizzando queste tecniche.
Infine, la teoria dei numeri computazionale studia algoritmi importanti nella teoria dei numeri. Algoritmi efficienti per la verifica della primalità e la fattorizzazione di interi hanno importanti applicazioni nella crittografia.
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