Teoremi di Sylow e numeri primi di Mersenne

[Shocker1]

Salve

Ho un po' di difficoltà con il seguente esercizio:

Sia $p$ un numero primo e $q = 2^p - 1$ un numero primo di Mersenne, dimostrare che un gruppo $G$ di cardinalità $2^pq$ ammette un unico $2-sylow$ o un unico $q-sylow$( o inclusivo)

Chiaramente se $p = 2$ e $q = 3$ ho la tesi, supponiamo $p != 2$,
Tralasciando questo caso banale non saprei come procedere: ho provato a supporre che il numero dei due Sylow fosse $q$ e a far agire $G$ per coniugio sull'insieme dei $2-$Sylow ma non sono riuscito a concludere nulla.

Avete qualche indizio? Grazie

[spugna2]

Il numero dei $q-$Sylow è $2^k$ per qualche $k <= p$, e si deve avere $q | 2^k-1$: se $2^k-1=0$ (cioè $k=0$) la tesi segue immediatamente, altrimenti $q <= 2^k-1 \Rightarrow 2^p-1 <= 2^k-1 \Rightarrow p <=k$, ma allora $k=p$, e con un semplice conto si trova che il numero di elementi di ordine $q$ è $2^p(q-1)$: gli altri elementi del gruppo formano un insieme di cardinalità $2^p q-2^p(q-1)=2^p$, quindi c'è posto per un solo $2-$Sylow.

[Shocker1]

Che pollo! Grazie