Teoremi di Hartogs e Bernstein
Onde evitare confusioni, enuncio i soprastanti teoremi
Teorema (Hartogs)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Allora esiste un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ o di $T$ in $S$"
Teorema (Bernstein)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Se esistono un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ ed un'applicazione iniettiva di $T$ in $S$ allora $S$ e $T$ sono equipotenti"
Vi chiederei, se possibile, di offrirmi qualche esempio su cui ragionare, magari preso dal web o meglio ancora proposto da voi.
Grazie in anticipo
Teorema (Hartogs)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Allora esiste un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ o di $T$ in $S$"
Teorema (Bernstein)
"Siano $S$ e $T$ insiemi non vuoti. Se esistono un'applicazione iniettiva di $S$ in $T$ ed un'applicazione iniettiva di $T$ in $S$ allora $S$ e $T$ sono equipotenti"
Vi chiederei, se possibile, di offrirmi qualche esempio su cui ragionare, magari preso dal web o meglio ancora proposto da voi.
Grazie in anticipo
Risposte
Cosa stai cercando di capire, se non la dimostrazione di questi due teoremi? Dico ciò perché "un esempio" in cui il teorema è vero è $S=NN$ e $T=QQ$. Ma ora che lo sai, cosa hai capito in più rispetto a prima? 
Mi sono spiegato male, vorrei costruire qualche applicazione, ad esempio, di $QQ$ in $NN$ proprio come si procede nella dimostrazione del teorema di Hartogs.
Oppure conoscendo qualche applicazione iniettiva di $QQ$ in $NN$ e una da $NN$ in $QQ$ costruire un'applicazione biettiva di $NN$ in $QQ$ proprio come si fa nel teorema di Bernstein.
Tutto questo nel tentativo di cercare di comprendere (appieno!) questi teoremi!
Oppure mi consigli di lasciar perdere?
Oppure conoscendo qualche applicazione iniettiva di $QQ$ in $NN$ e una da $NN$ in $QQ$ costruire un'applicazione biettiva di $NN$ in $QQ$ proprio come si fa nel teorema di Bernstein.
Tutto questo nel tentativo di cercare di comprendere (appieno!) questi teoremi!
Oppure mi consigli di lasciar perdere?
Quello che chiami teorema di Hartogs è equivalente all'assioma della scelta, non ha senso volerne una dimostrazione "costruttiva" nel senso che trovi esplicitamente una funzione iniettiva da un insieme all'altro. Ti è chiaro (cosa che credo molto piu importante) come si dimostrano, invece?
Guarda a questa tua domanda ne approfitto!
Riguardo il teorema di Hartogs non ci sono grossi problemi. Il mio libro così procede
1) nell'insieme $F$ delle applicazioni iniettive di $X sube S$ in $T$ consideriamo la relazione d'ordine $<=$ così definita: $f:X->T, g:Y->T in F$, $f<=g <=> X sube Y, f(x)=g(x)$ per ogni $x in X$
2) prendiamo poi una parte ben ordinata $L$ di $(F,<=)$ e $L'$ l'unione di tutti i domini degli elementi di $L$. Sia $\phi:x in L'->f_x(x)$ con $f_x$ elemento di $F$ con dominio contenente $x$
3) $\phi$ è iniettiva ed è un elemento di $F$ e un maggiorante di $(F,<=)$
Fin qui ok, più dice $(F,<=)$ è induttivo. Un insieme non è induttivo quando ogni sua parte ben ordinata ammette maggioranti. Ma nel nostro caso abbiamo analizzato solo $L$. Chi ci dice che non ci sono altre parti ben ordinate?
4) mettermi da parte questo, per il lemma di Zorn si prende l'elemento massimale $\mu:M->T$ e il teorema si conclude dimostrando per assurdo che o $M=S$ oppure $\mu(M)=T$
Per quanto riguarda il teorema di Bernstein non riesco a capire il perché dell'inizio. Se $f:S->T$ e $g:T->S$ sono le funzioni iniettive, il mio libro prende la funzione $\phi:X in P(S)-> S-g(T- f(X)) in P(S)$
Non capisco perché prende proprio questa funzione. Su internet ho trovato anche qualche considerazione grafica che però non riesco a visualizzare. Linko il sito
Ti potrei chiedere qualche risposta veloce alle 2 domande poste?
Riguardo il teorema di Hartogs non ci sono grossi problemi. Il mio libro così procede
1) nell'insieme $F$ delle applicazioni iniettive di $X sube S$ in $T$ consideriamo la relazione d'ordine $<=$ così definita: $f:X->T, g:Y->T in F$, $f<=g <=> X sube Y, f(x)=g(x)$ per ogni $x in X$
2) prendiamo poi una parte ben ordinata $L$ di $(F,<=)$ e $L'$ l'unione di tutti i domini degli elementi di $L$. Sia $\phi:x in L'->f_x(x)$ con $f_x$ elemento di $F$ con dominio contenente $x$
3) $\phi$ è iniettiva ed è un elemento di $F$ e un maggiorante di $(F,<=)$
Fin qui ok, più dice $(F,<=)$ è induttivo. Un insieme non è induttivo quando ogni sua parte ben ordinata ammette maggioranti. Ma nel nostro caso abbiamo analizzato solo $L$. Chi ci dice che non ci sono altre parti ben ordinate?
4) mettermi da parte questo, per il lemma di Zorn si prende l'elemento massimale $\mu:M->T$ e il teorema si conclude dimostrando per assurdo che o $M=S$ oppure $\mu(M)=T$
Per quanto riguarda il teorema di Bernstein non riesco a capire il perché dell'inizio. Se $f:S->T$ e $g:T->S$ sono le funzioni iniettive, il mio libro prende la funzione $\phi:X in P(S)-> S-g(T- f(X)) in P(S)$
Non capisco perché prende proprio questa funzione. Su internet ho trovato anche qualche considerazione grafica che però non riesco a visualizzare. Linko il sito
Ti potrei chiedere qualche risposta veloce alle 2 domande poste?
Eh, non hai linkato il sito e non si capisce una sega riporta la dimostrazione, piuttosto.
riporta la dimostrazione, piuttosto.
[xdom="gugo82"]@k_b: vedo che la sospensione settimanale non è bastata.
Chiudo, in attesa di decidere il da farsi.[/xdom]
Chiudo, in attesa di decidere il da farsi.[/xdom]
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