Teorema su insiemi naturalmente ordinati

[KatieP]

Siano S ed S' insiemi naturalmente ordinati rispetto all'inclusione e non superiormente limitati. Una funzione f : S-->S' è biettiva e crescente se è solo se f(minS) = minS' e f(succ(x)) = succ(f(x)), per ogni x di S.

Non ho capito la prima parte della dimostrazione. Comincia così: esiste x appartenente ad S tale che f(x) = minS' , minS <= x (con <= intendo è minore o uguale). Quindi, poiché f è crescente f(minS) <= f(x) = minS' quindi f(minS) = minS'.
Ho capito tutto tranne l'ultima implicazione. Perché viene escluso il caso che f(minS)<=minS' e che sia semplicemente uguale? In questo modo, ammettendo che dal minS<=x segue f(minS) = minS', non stiamo negando l'iniettività della funzione? (se minS

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vict85

11 nov 2016, 18:07

[xdom="vict85"]Dopo 169 messaggi sul forum ci si aspetta che tu abbia familiarizzato a sufficienza sul forum per saper usare le [formule][/formule] (nota che il [regolamento]3_7[/regolamento] considera obbligatorio il loro uso dopo appena 30 messaggi).[/xdom]

Detto questo, durante la mia laurea in matematica non ho mai sentito parlare di insiemi naturalmente ordinati, può darsi che lo conosca con un altro nome o che semplicemente non era considerato importante dai miei professori. Risulterebbe quindi utile se scrivessi la definizione di questo concetto così da poterti rispondere in modo preciso. In ogni caso non sembra servire per rispondere al tuo dubbio.

Il tuo teorema afferma:
Siano \(\displaystyle S \), \(\displaystyle S' \) due insiemi naturalmente ordinati, e \(\displaystyle f\colon S\to S' \) una funzione. Allora \(\displaystyle f \) è biettiva e crescente se e solo se \(\displaystyle f(\min S) = \min S' \) e \(\displaystyle f\bigl(\mathrm{succ}(x)\bigr) = \mathrm{succ}\bigl( f(x)\bigr) \).

La dimostrazione è invece:
( \(\displaystyle \Rightarrow \) ) Supponiamo che f sia biettiva e crescente allora esiste \(\displaystyle x\in S \) tale che \(\displaystyle f(x) = \min S' \). Per la definizione di minore si ha \(\displaystyle \min S \le x \) e siccome \(\displaystyle f \) è crescente si ha \(\displaystyle \min S \le x \rightarrow f(\min S) \le f(x) = \min S' \). Per la definizione di minimo si ha che \(\displaystyle f(\min S) \ge \min S' \). Unendo le due disequazioni si ha quello che stai cercando.

Scritto così ti è più chiaro?

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KatieP

18 nov 2016, 15:15

Chiarissimo ora, grazie mille! E mi scuso per il linguaggio, spesso scrivo di fretta dal cellulare, provvederò nei prossimi messaggi.

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G.D.5

18 nov 2016, 16:18

Giusto per inciso, un insieme si dice naturalmente ordinato quando è dotato di una relazione d'ordine \( \leq \) tale per cui ogni parte non vuota di \( S \) è dotata di minimo e, se superiormente limitata, anche di massimo rispetto a \( \leq \). Qual è l'utilità di questi insiemi? L'utilità di questi insiemi sta nel fatto che permettono di presentare un modello dei numeri naturali basato sulla relazione d'ordine \( \leq \) di un qualunque fissato insieme naturalmente ordinato.

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[vict85]

[xdom="vict85"]Dopo 169 messaggi sul forum ci si aspetta che tu abbia familiarizzato a sufficienza sul forum per saper usare le [formule][/formule] (nota che il [regolamento]3_7[/regolamento] considera obbligatorio il loro uso dopo appena 30 messaggi).[/xdom]

Detto questo, durante la mia laurea in matematica non ho mai sentito parlare di insiemi naturalmente ordinati, può darsi che lo conosca con un altro nome o che semplicemente non era considerato importante dai miei professori. Risulterebbe quindi utile se scrivessi la definizione di questo concetto così da poterti rispondere in modo preciso. In ogni caso non sembra servire per rispondere al tuo dubbio.

Il tuo teorema afferma:
Siano \(\displaystyle S \), \(\displaystyle S' \) due insiemi naturalmente ordinati, e \(\displaystyle f\colon S\to S' \) una funzione. Allora \(\displaystyle f \) è biettiva e crescente se e solo se \(\displaystyle f(\min S) = \min S' \) e \(\displaystyle f\bigl(\mathrm{succ}(x)\bigr) = \mathrm{succ}\bigl( f(x)\bigr) \).

La dimostrazione è invece:
( \(\displaystyle \Rightarrow \) ) Supponiamo che f sia biettiva e crescente allora esiste \(\displaystyle x\in S \) tale che \(\displaystyle f(x) = \min S' \). Per la definizione di minore si ha \(\displaystyle \min S \le x \) e siccome \(\displaystyle f \) è crescente si ha \(\displaystyle \min S \le x \rightarrow f(\min S) \le f(x) = \min S' \). Per la definizione di minimo si ha che \(\displaystyle f(\min S) \ge \min S' \). Unendo le due disequazioni si ha quello che stai cercando.

Scritto così ti è più chiaro?

[KatieP]

Chiarissimo ora, grazie mille! E mi scuso per il linguaggio, spesso scrivo di fretta dal cellulare, provvederò nei prossimi messaggi.

[G.D.5]

Giusto per inciso, un insieme si dice naturalmente ordinato quando è dotato di una relazione d'ordine \( \leq \) tale per cui ogni parte non vuota di \( S \) è dotata di minimo e, se superiormente limitata, anche di massimo rispetto a \( \leq \). Qual è l'utilità di questi insiemi? L'utilità di questi insiemi sta nel fatto che permettono di presentare un modello dei numeri naturali basato sulla relazione d'ordine \( \leq \) di un qualunque fissato insieme naturalmente ordinato.