Teorema su campo
Ciao!
Teorema: p è primo se $ZZ (mod p) $ e' un campo.
Dimostrazione: sia $ ZZ/(p ZZ )$ un campo. Devo dimostrare che p è primo. Procedo per assurdo. Se p non è primo allora si può scrivere come prodotto di primi. Allora esistono le classi resto di questi fattori e il loro prodotto è 0. Ma questo non può succedere im un campo.
Domanda. Perché non può succedere in un campo?
Teorema: p è primo se $ZZ (mod p) $ e' un campo.
Dimostrazione: sia $ ZZ/(p ZZ )$ un campo. Devo dimostrare che p è primo. Procedo per assurdo. Se p non è primo allora si può scrivere come prodotto di primi. Allora esistono le classi resto di questi fattori e il loro prodotto è 0. Ma questo non può succedere im un campo.
Domanda. Perché non può succedere in un campo?
Risposte
Risposta: i campi sono privi di divisori dello \(\displaystyle0\)!
ControDomanda: perché?
ControDomanda: perché?
In altre parole perché non posso dividere 0 per uno dei miei fattori? Non so rispondere alla controdomanda...
"spode":Detta così significa che non puoi dividere lo \(\displaystyle0\) per un elemento non nullo \(\displaystyle x\), il che è falso in quanto \(\displaystyle0=0x\)!
In altre parole perché non posso dividere 0 per uno dei miei fattori?...
Sai cos'è un divisore dello \(\displaystyle0\)?
0k, mi sto sentendo in imbarazzo. Immagino che un divisore dello 0 sia...qualsiasi numero visto che $n|0$ per ogni n in $ZZ$ tranne 0. Non è così? Potresti spiegarmi? Forse mi manca qualche tassello per capire.
Limitatamente agli anelli \(\displaystyle\mathbb{Z}_m\), se \(\displaystyle m=p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_r^{e_r}\) è la scomposizione in fattori primi, allora tu ha che:
\[
[0]=[m]=\left[p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_r^{e_r}\right]=\left[p_1^{e_1}\right]\cdot...\cdot\left[p_r^{e_r}\right]
\]
pur non essendo i fattori a destri conguenti a \(\displaystyle0\).
Si afferma che gli ogni elmento a destra è un divisore dello \(\displaystyle0\) (in \(\displaystyle\mathbb{Z}_m\)) in quanto è un elemento non nullo per cui esiste un elemento non nullo il cui prodotto è \(\displaystyle0\).
Non so se in generale dovresti sapere cos'è un divisore dello \(\displaystyle0\)!
\[
[0]=[m]=\left[p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_r^{e_r}\right]=\left[p_1^{e_1}\right]\cdot...\cdot\left[p_r^{e_r}\right]
\]
pur non essendo i fattori a destri conguenti a \(\displaystyle0\).
Si afferma che gli ogni elmento a destra è un divisore dello \(\displaystyle0\) (in \(\displaystyle\mathbb{Z}_m\)) in quanto è un elemento non nullo per cui esiste un elemento non nullo il cui prodotto è \(\displaystyle0\).
Non so se in generale dovresti sapere cos'è un divisore dello \(\displaystyle0\)!
Grazie! Quindi questo succede perché col modulo si ha la classe resto 0. Infatti m=1*m+0. Quindi il resto è 0.
Sì, esatto; e con l'esercizio proposto che dici?
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