Teorema o non teorema
buona domenica a tutti
ho un dubbio che riguarda i teoremi
ieri, parlando dell'insieme vuoto (link: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068), si è dimostrata la verità della seguente proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B" semplicemente osservando che è la falsa la premessa $x in emptyset$...allo stesso modo si è dimostrato che la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ non vale la proprietà B" semplicemente osservando che è falsa la premessa $x in emptyset$
stamattina stavo facendo un esercizio dui numeri primi e poco dopo ne ho fatto uno sui numeri dispari (fortunatamente mi trovo) quando, sulla falsariga della dimostrazione della validità delle proposizioni di cui parlavo prima, mi è venuto in mente che, una proposizione del tipo "se $3$ è dispari allora $3$ è un numero primo" è vera perchè la premessa e la conseguenza sono entrambe vere, però...non si può passare logicamente dal fatto che $3$ è dispari al fatto che $3$ è primo, quindi (ho pensato io) questa proposizione non è un teorema eppure ne ho provato la verità
allo stesso modo ho dunque riflettuto sulle due proposizioni di ieri sull'insieme vuoto che ho scritto sopra: si è dimostrata la verità di quelle proposizioni semplicemente attraverso la logica degli enunciati, ma, per esempio, nella proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B", non si è dimostrato che dalla premessa $forall x in emptyset$ discende logicamente che $B mbox { vale per } x$...ho pensato (molto probabilmente sbaglio) che ciò non è stato possibile perchè la premessa è falsa, mentre in un teorema la premessa deve essere vera...
a questo punto mi sorgono un pò di dubbi
1) una proposizione del tipo $A rightarrow B$ quando è un teorema?
spiego meglio il senso della domanda: obiettivo del teorema è dimostrare che l'implicazione è vera in quanto dalla verità della premessa segue logicamente la verità della conseguenza, quindi, partendo dal fatto che $A$ ha valore di verità $mbox { VERO }$ bisogna provare che l'implicazione $rightarrow$ è vera mostrando che da $A$ segue logicamente che $B$ è $mbox { VERA }$...è questa la condizione che rende un teorema tale?
2) (con riferimento alla domanda 1) se la premessa $A$ è falsa si è ancora in presenza di un teorema?
3) di solito quando si dimostra un teorema ($A rightarrow B$) si assume vera la $A$ e si dimostra che da questo segue logicamente che è vera anche $B$ senza però sapere a priori che $B$ è vera; se, invece, uno avesse una proposizione $B$ che si sa essere vera ancor prima di dimostrare il teorema e mostra che questo valore di verità è logicamente dipendente dalla verità di $A$, si può ancora parlare di teorema?
4) (con riferimento alla domanda 2) se, invece, non si può provare che la verità di $B$ segue logicamente dalla verità di $A$, fermo restando che $B$ è vera, si è ancora in presenza di un teorema?
5) uno deve prendere per buono l'avere dimostrato che un teorema è vero o l'avere dimostrato che una proposizione è vera anche se essa non è un teorema?
rendo meglio il senso della domanda: prendiamo ad esempio la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B": questa è vera ma la premesssa è falsa, quindi non è un teorema, inoltre non si è dimostrato che da $x in emptyset$ segue logicamente che $B mbox { vale per } x$...a questo punto questa proposizione la si assume vera da un punto di vista logico o da un punto di vista formale?
ho un dubbio che riguarda i teoremi
ieri, parlando dell'insieme vuoto (link: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068), si è dimostrata la verità della seguente proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B" semplicemente osservando che è la falsa la premessa $x in emptyset$...allo stesso modo si è dimostrato che la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ non vale la proprietà B" semplicemente osservando che è falsa la premessa $x in emptyset$
stamattina stavo facendo un esercizio dui numeri primi e poco dopo ne ho fatto uno sui numeri dispari (fortunatamente mi trovo) quando, sulla falsariga della dimostrazione della validità delle proposizioni di cui parlavo prima, mi è venuto in mente che, una proposizione del tipo "se $3$ è dispari allora $3$ è un numero primo" è vera perchè la premessa e la conseguenza sono entrambe vere, però...non si può passare logicamente dal fatto che $3$ è dispari al fatto che $3$ è primo, quindi (ho pensato io) questa proposizione non è un teorema eppure ne ho provato la verità
allo stesso modo ho dunque riflettuto sulle due proposizioni di ieri sull'insieme vuoto che ho scritto sopra: si è dimostrata la verità di quelle proposizioni semplicemente attraverso la logica degli enunciati, ma, per esempio, nella proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B", non si è dimostrato che dalla premessa $forall x in emptyset$ discende logicamente che $B mbox { vale per } x$...ho pensato (molto probabilmente sbaglio) che ciò non è stato possibile perchè la premessa è falsa, mentre in un teorema la premessa deve essere vera...
a questo punto mi sorgono un pò di dubbi
1) una proposizione del tipo $A rightarrow B$ quando è un teorema?
spiego meglio il senso della domanda: obiettivo del teorema è dimostrare che l'implicazione è vera in quanto dalla verità della premessa segue logicamente la verità della conseguenza, quindi, partendo dal fatto che $A$ ha valore di verità $mbox { VERO }$ bisogna provare che l'implicazione $rightarrow$ è vera mostrando che da $A$ segue logicamente che $B$ è $mbox { VERA }$...è questa la condizione che rende un teorema tale?
2) (con riferimento alla domanda 1) se la premessa $A$ è falsa si è ancora in presenza di un teorema?
3) di solito quando si dimostra un teorema ($A rightarrow B$) si assume vera la $A$ e si dimostra che da questo segue logicamente che è vera anche $B$ senza però sapere a priori che $B$ è vera; se, invece, uno avesse una proposizione $B$ che si sa essere vera ancor prima di dimostrare il teorema e mostra che questo valore di verità è logicamente dipendente dalla verità di $A$, si può ancora parlare di teorema?
4) (con riferimento alla domanda 2) se, invece, non si può provare che la verità di $B$ segue logicamente dalla verità di $A$, fermo restando che $B$ è vera, si è ancora in presenza di un teorema?
5) uno deve prendere per buono l'avere dimostrato che un teorema è vero o l'avere dimostrato che una proposizione è vera anche se essa non è un teorema?
rendo meglio il senso della domanda: prendiamo ad esempio la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B": questa è vera ma la premesssa è falsa, quindi non è un teorema, inoltre non si è dimostrato che da $x in emptyset$ segue logicamente che $B mbox { vale per } x$...a questo punto questa proposizione la si assume vera da un punto di vista logico o da un punto di vista formale?
Risposte
in un teorema la premessa deve essere vera...
Premetto una cosa: mi è molto scomodo pensare a un teorema come a una struttura tipo "ipotesi + tesi", anche perché posso spostare l'ipotesi dove voglio. Ti faccio un esempio: se dico "tutte le palline appartenenti a $\emptyset$ sono rosse" viene spontaneo dare a "pallina $P \in \emptyset$" il nome di ipotesi e a "P rossa" il nome di tesi, però io ti posso dare la formulazione equivalente: "se 1=1 allora tutte le palline appartenenti a $\emptyset$ sono rosse". In tale formulazione l'ipotesi è 1=1, ed è vera, e la tesi è "tutte le palline appartenenti a $\emptyset$ sono rosse".
Quindi non posso intendere un teorema come "ipotesi+tesi" dove l'ipotesi è vera. E non ha senso parlare di "ipotesi naturale" perché il rigore dell'ambiente in cui siamo non ce lo permette.
Mettiamoci quindi d'accordo su una cosa: un teorema per me è una proposizione vera
Ora:
"se 3 è dispari allora è un numero primo" è vera perchè la premessa e la conseguenza sono entrambe vere, però...non si può passare logicamente dal fatto che è dispari al fatto che è primo, quindi (ho pensato io) questa proposizione non è un teorema eppure ne ho provato la verità
La proposizione "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema in quanto proposizione vera.
1) Direi che una proposizione del tipo $A \rarr B$ è un teorema quando non si verifica il caso "A vero & B falso".
2) Sì, qualunque sia B.
3) Sì. Che B sia vera indipendentemente da A non è influente. Ciò che importa è che B sia vera quando A è vera. Poiché B è vera sempre, lo è anche quando A è vera.
4) In realtà bisogna chiarire il concetto di "non si può provare": se sai che B è vera e lo sai provare, allora puoi decidere che il procedimento per provare B parte dalla veridicità di A. In altre parole, poiché A è vera, essa implica qualsiasi proposizione vera, in particolare qualunque proposizione vera da cui tu voglia partire per dimostrare B. Quindi se puoi provare che B vale, puoi provare anche che B segue logicamente dalla verità di A.
5) Come dicevo, per me una proposizione vera è un teorema.
Tre spunti:
1. Un teorema non e' una proposizione vera. Zichichi potra' anche pensarla cosi', ma Goedel si rivolta nella tomba. Fidati.
2. Attenzione all'implicazione. In matematica, a differenza del linguaggio naturale, l'implicazione non comporta un rapporto di causa-effetto.
3. Attenzione all'insieme vuoto e a riferirsi a proprieta' di elementi dell'insieme vuoto. Questo fatto, unito alla contro-intuitivita' dell'implicazione in matematica, e' a volte sorgente di situazioni non intuitive.
Ciao,
L.
1. Un teorema non e' una proposizione vera. Zichichi potra' anche pensarla cosi', ma Goedel si rivolta nella tomba. Fidati.
2. Attenzione all'implicazione. In matematica, a differenza del linguaggio naturale, l'implicazione non comporta un rapporto di causa-effetto.
3. Attenzione all'insieme vuoto e a riferirsi a proprieta' di elementi dell'insieme vuoto. Questo fatto, unito alla contro-intuitivita' dell'implicazione in matematica, e' a volte sorgente di situazioni non intuitive.
Ciao,
L.
...e sono proprio questi tre punti i miei dubbi
1) che cos'è un teorema?
2) prendiamo ad esempio le due proposizioni composte $P_1$: "se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono uguali" e $P_2$: "per gli $x in emptyset$ vale la proprietà $B$"...perchè per far vedere che la $P_1$ è vera si ricorre a un ragionamento logico che porta dalla verità dell'ipotesi alla verità della tesi, mentre per far vedere che è vera la $P_2$ (questo è stato fatto nel topic indicato dal link nel mio post iniziale) si è fatto semplicemente ricorso alla logica degli enunciati? voglio dire: si potrebbe fare allora la stessa cosa anche con $P_1$ ma non lo facciamo...
3) (sempre assumendo come esempio le proposizioni $P_1$ e $P_2$) in geometria usiamo la $P_1$ per fare altre deduzioni logiche o altre dimostrazioni logiche, si può fare la stessa cosa con $P_2$ (cioè usarla per altre deduzioni logiche e altre dimostrazioni logiche), fermo restando che la $P_2$ di logico non ha nulla dal momento che l'ipotesi è falsa sempre?
1) che cos'è un teorema?
2) prendiamo ad esempio le due proposizioni composte $P_1$: "se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono uguali" e $P_2$: "per gli $x in emptyset$ vale la proprietà $B$"...perchè per far vedere che la $P_1$ è vera si ricorre a un ragionamento logico che porta dalla verità dell'ipotesi alla verità della tesi, mentre per far vedere che è vera la $P_2$ (questo è stato fatto nel topic indicato dal link nel mio post iniziale) si è fatto semplicemente ricorso alla logica degli enunciati? voglio dire: si potrebbe fare allora la stessa cosa anche con $P_1$ ma non lo facciamo...
3) (sempre assumendo come esempio le proposizioni $P_1$ e $P_2$) in geometria usiamo la $P_1$ per fare altre deduzioni logiche o altre dimostrazioni logiche, si può fare la stessa cosa con $P_2$ (cioè usarla per altre deduzioni logiche e altre dimostrazioni logiche), fermo restando che la $P_2$ di logico non ha nulla dal momento che l'ipotesi è falsa sempre?
"Lorenzo Pantieri":
Un teorema non e' una proposizione vera.
Grazie per lo spunto
ma allora dovresti proporre una definizione di teorema. Io l'ho sempre pensato come "proposizione importante", più importante dei lemmi e delle proposizioni. Non gli ho mai dato un significato diverso. Ora:- Se si dice che un teorema è una struttura "ipotesi + tesi" con ipotesi vera, ciò ricade in una quantità di assurdi in quanto l'ipotesi in una proposizione non è una cosa ben definita, ovvero non è invariante rispetto al passaggio a proposizioni equivalenti.
- Se ci si limita a dire ciò che un teorema non è, allora emergono naturalmente dubbi insolubili e fastidiosi. Per esempio: quali dei seguenti sono teoremi? (la domanda è rivolta a Lorenzo Pantieri)
a) se 3 è dispari allora è primo,
b) se 3 è pari allora 2 è pari,
c) se 30 è primo allora ogni numero pari è primo,
d) se 30 non è primo allora 2 non è primo,
e) 2 è pari,
f) 3 è pari.
Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.
@Wizard: il problema di fondo credo sia il seguente: se l'ambiente è troppo rigoroso, non si può far discendere logicamente niente da nient'altro. Si ricade inevitabilmente in qualcosa che è troppo evidente per ammettere spiegazioni. Per esempio: riusciresti a spiegare perché 2+2=4? Ogni spiegazione di questo fatto a cui penso non mi soddisfa.
"Martino":
Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.
non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?
"WiZaRd":
2) prendiamo ad esempio le due proposizioni composte $P_1$: "se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono uguali" e $P_2$: "per gli $x in emptyset$ vale la proprietà $B$"...perchè per far vedere che la $P_1$ è vera si ricorre a un ragionamento logico che porta dalla verità dell'ipotesi alla verità della tesi, mentre per far vedere che è vera la $P_2$ (questo è stato fatto nel topic indicato dal link nel mio post iniziale) si è fatto semplicemente ricorso alla logica degli enunciati? voglio dire: si potrebbe fare allora la stessa cosa anche con $P_1$ ma non lo facciamo...
Ecco, come ho accennato nel post precedente, dove e come secondo me nasce e cresce un'infinità di dubbi: ogni proposizione si dimostra utilizzando la logica degli enunciati; il fatto che la tua $P_1$ necessiti, per essere dimostrata, di un ragionamento logico "lungo" e che invece la $P_2$ si risolva in un solo passaggio sono, secondo me, illusioni dovute alla nostra mente limitata: se ammettiamo che ogni enunciato è vero oppure falso, due proposizioni vere sono, a livello puramente teorico, ugualmente "facili" da dimostrare. Ma noi siamo fatti in modo che alcune dimostrazioni risultano più difficili e con più passaggi, mentre altre sono quasi evidenti. Ciò che penso è che tutte le proposizioni vere sono "evidenti", la differenza la fa la nostra incapacità di rendercene conto.
WiZaRd, mi pare di aver letto in altri post che non sei (ancora?) uno studente universitario. Se ciò è vero ti faccio i complimenti perché fai delle domande intelligentissime. Se ciò non è vero ti faccio i complimenti lo stesso per lo stesso motivo.
Ciao
"WiZaRd":
[quote="Martino"]
Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.
non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?[/quote]
Nella mia ottica, chiedersi se "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema è già fare filosofia.
"Martino":
WiZaRd, mi pare di aver letto in altri post che non sei (ancora?) uno studente universitario. Se ciò è vero ti faccio i complimenti perché fai delle domande intelligentissime. Se ciò non è vero ti faccio i complimenti lo stesso per lo stesso motivo.
Ciao
ancora non sono uno studente universitario, ho finito il liceo quest'anno e mi vorrei iscrivere a matematica, quindi da settembre potrei "entrare nel giro"
quanto ai complimenti, ti ringrazio anche se non sono convinto che le mie domande siano domande intelligenti, a me sembrano più le domande di uno che non sta capendo niente (sai che divertimento se a settebre comincio l'università così
), a dire la veità quando leggo le risposte che date nel forum sono queste che mi danno la sensazione di essere intelligenti
"WiZaRd":
2) prendiamo ad esempio le due proposizioni composte $P_1$: "se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono uguali" e $P_2$: "per gli $x in emptyset$ vale la proprietà $B$"...perchè per far vedere che la $P_1$ è vera si ricorre a un ragionamento logico che porta dalla verità dell'ipotesi alla verità della tesi, mentre per far vedere che è vera la $P_2$ (questo è stato fatto nel topic indicato dal link nel mio post iniziale) si è fatto semplicemente ricorso alla logica degli enunciati? voglio dire: si potrebbe fare allora la stessa cosa anche con $P_1$ ma non lo facciamo...
Ok, dici che si potrebbe fare la stessa cosa anche con $P_1$: ma come?
$P_2$ è un caso semplice: sappiamo già che la premessa è falsa, quindi qed.
Ma $P_1$ ? come si fa? come fai a vedere che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali? come fai a sapere se è vera? ovviamente non sarà vera sempre (e hai miliardi - anzi $00^2$ di controesempi)
Devi necessariamente usare le deduzioni e arrivarci da qualche altra parte, ossia sfruttare l'ipotesi e dedurre..
Ora non mi viene in mente niente (prometto di pensarci), ma spesso è comodo usare l'insime vuoto nelle dimosrazioni!
"WiZaRd":
3) (sempre assumendo come esempio le proposizioni $P_1$ e $P_2$) in geometria usiamo la $P_1$ per fare altre deduzioni logiche o altre dimostrazioni logiche, si può fare la stessa cosa con $P_1$ (cioè usarla per altre deduzioni logiche e altre dimostrazioni logiche), fermo restando che la $P_2$ di logico non ha nulla dal momento che l'ipotesi è falsa sempre?
Immagino volessi dire "si può fare la stessa cosa con $P_2$"
nel qual caso: certo, possiamo.. ma non vale la pena trovare proprietà dell'insieme vuoto... tanto le verifica tutte banalmente!
comunque tantissimo fa lo studio nelle mie risposte.. all'età tua non sarei stato mai in grado di sostenere questa discussione.. ciò mi fa pensare che studi seriamente: ti auguro di riuscire a studiare così bene anche all'università: è il farsi le domande che ti porta avanti!
"Martino":
[quote="WiZaRd"][quote="Martino"]
Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.
non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?[/quote]
Nella mia ottica, chiedersi se "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema è già fare filosofia.[/quote]
Non (solo) filosofia, ma logica matematica. E' infatti compito di questa disciplina definire rigorosamente cosa si intende per ''teorema'', ''dimostrazione'', ecc.
per Gaal Dornick...sì, intendevo $P_2$
mi fa piacere che la discussione prosegua e spero che qualcuno possa aggiungere ulteriori chiarificazioni alla questione del topic
mi fa piacere che la discussione prosegua e spero che qualcuno possa aggiungere ulteriori chiarificazioni alla questione del topic
"WiZaRd":
a me sembrano più le domande di uno che non sta capendo niente (sai che divertimento se a settebre comincio l'università così
Quando stavo per iniziare l'università a matematica (ora sto iniziando il quinto anno) io credevo di sapere se non tutto della materia, quasi. Inutile dire che mi sbagliavo totalmente.
Tu invece ti rendi conto che la conosci poco. Per questo farai molta strada secondo me. Fidati, al primo anno di matematica ci sono molti che credono di sapere tutto e alcuni si atteggiano addirittura da insegnanti.
Quanto alla questione del filone in questione (
), mi rendo conto che potrebbe esserci una definizione di "teorema" precisa e rigorosa. Quando ne saprò di più riguardo a questo mi permetterò di dare valutazioni, ma per ora è meglio che mi limiti 
Ciao ciao.
"Sandokan.":
[quote="Martino"][quote="WiZaRd"][quote="Martino"]
Considerato tutto questo, credo che non si possa dire una cosa assoluta sulla definizione (o non-definizione) di teorema, forse è meglio affidarsi alla propria comodità di pensiero.
non voglio risprendere nessuno ma non credi che in questo modo rischiamo di andare a fare filosofia?[/quote]
Nella mia ottica, chiedersi se "se 3 è dispari allora è primo" è un teorema è già fare filosofia.[/quote]
Non (solo) filosofia, ma logica matematica. E' infatti compito di questa disciplina definire rigorosamente cosa si intende per ''teorema'', ''dimostrazione'', ecc.[/quote]
Per quel che ne so io, un teorema è una proposizione che può essere dimostrata vera, partendo da certi assiomi, ed applicando regole consentite. La dimostrazione è il processo attraverso cui si arriva alla tesi.
Nelle logiche di primo ordine (che è quello che interessa qui), valgono i teoremi di completezza (ciò che è vero è dimostrabile) e di validità (ciò che è dimostrabile è vero); quindi nelle logiche di primo ordine, i concetti di enunciato vero ('vero' in ogni modello di quegli assiomi) e di teorema sono coincidenti.
perdonatemi se ci torno sempre sopra ma dato che è da ciò che è cominciato tutto...la proposizione $A$: "se $x in emptyset$ allora per $x$ vale la proporietà $B$" è un enunciato vero (per quello che già si è detto nell'altro topic https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068, e cioè perchè è sempre falsa la premessa); con riferimento al fatto che
domanda 1) la $A$ è vera in ogni modello degli assiomi (anche se non ho idea di quali questi siano)?
domanda 2) la proposizione $C$: "se $3$ è dispari allora è primo" è un teorema?
domanda 3) cosa intendi per "vero in ogni modello di degli assiomi"?
domanda 4) un enunciato semplicemente vero e un enunciato vero in ogni modello di assiomi sono la stessa cosa?
domanda 5) in generale, un enunciato vero, che non è però un teorema e che è vero solo perchè tale è reso dalle regole del calcolo proposizionale ma che in realtà non ha in sè alcun senso logico-deduttivo (ad esempio, l'enunciato "se io sono un topo allora gauss è un matematico" che è vero perchè è falsa la proposizione atomica che fa da antecedente - oltre, ovviamente, al fatto che è stravera la conseguenza - ma che in realtà non ha nessun senso logico-deduttivo dal momento che tra l'essere io un topo e l'essere gauss un matematico non c'è nessun legame), può essere usato come proposizione sulla scorta della quale condurre un ragionamento logicamente corretto col quale dimostrare qualche cosa (può essere insomma usato così come viene usato un assioma o un teorema)?
"TomSawyer":
Nelle logiche di primo ordine (che è quello che interessa qui), valgono i teoremi di completezza (ciò che è vero è dimostrabile) e di validità (ciò che è dimostrabile è vero); quindi nelle logiche di primo ordine, i concetti di enunciato vero ('vero' in ogni modello di quegli assiomi) e di teorema sono coincidenti.
domanda 1) la $A$ è vera in ogni modello degli assiomi (anche se non ho idea di quali questi siano)?
domanda 2) la proposizione $C$: "se $3$ è dispari allora è primo" è un teorema?
domanda 3) cosa intendi per "vero in ogni modello di degli assiomi"?
domanda 4) un enunciato semplicemente vero e un enunciato vero in ogni modello di assiomi sono la stessa cosa?
domanda 5) in generale, un enunciato vero, che non è però un teorema e che è vero solo perchè tale è reso dalle regole del calcolo proposizionale ma che in realtà non ha in sè alcun senso logico-deduttivo (ad esempio, l'enunciato "se io sono un topo allora gauss è un matematico" che è vero perchè è falsa la proposizione atomica che fa da antecedente - oltre, ovviamente, al fatto che è stravera la conseguenza
- ma che in realtà non ha nessun senso logico-deduttivo dal momento che tra l'essere io un topo e l'essere gauss un matematico non c'è nessun legame), può essere usato come proposizione sulla scorta della quale condurre un ragionamento logicamente corretto col quale dimostrare qualche cosa (può essere insomma usato così come viene usato un assioma o un teorema)?
Qui si va nella logica matematica; io ho solo descritto in termini generali come si può vedere un teorema. Quindi, se uno non ha in mente le definizioni rigorose di modelli, enunciati, strutture etc, diventa difficile parlarne.
Ho visto che usi la parola "enunciato" indiscriminatamente. Un enunciato è una formula ben formata senza variabili libere (cioè dove ogni variabile presente è sotto l'azione di un quantificatore); tu spesso intendi una "proposizione".
Per "vero in tutti i modelli" si intende una formula "valida", cioè una formula che non può essere falsa in qualche struttura che soddisfa gli ipotetici assiomi. Se si è dentro una teoria completa (così com'è il campo dei numeri reali, per esempio), un enunciato vero in una certa struttura sarà valido, dato che tutti i modelli del campo dei reali sono elementarmente equivalenti tra di loro.
Comunque, ripeto, per capire in maniera non ambigua questi concetti, è consigliabile studiarseli bene, in maniera più o meno completa, piuttosto di sapere qualche definizione sporadica. Non mi sembra che i tuoi dubbi iniziali siano difficili da sciogliere, quindi è bene non complicarsi la vita con altri dubbi su argomenti (più o meno) sconosciuti.
La proposizione "3 è primo" è un teorema (assieme alla sua dimostrazione usando la definizione di numero primo). "se 3 è dispari, allora 3 è primo" sottintende una regola generale che se $n \in NN$ è dispari, allora $n$ è primo, e non fa nessun appello alla definizione di numero primo. E' giusto domandarsi certe cose, ma secondo me ti complichi senza motivo la vita, a volte.
Tu puoi usare una proposizione $A\to B$, con $A$ falsa, solo che non sarai mai in grado di farlo concretamente, dato che l'ipotesi non è mai verificata. In ogni caso, è bene negli esempi evitare frasi del linguaggio comune che non possono essere formalizzate, perché si possono creare ambiguità.
Ho visto che usi la parola "enunciato" indiscriminatamente. Un enunciato è una formula ben formata senza variabili libere (cioè dove ogni variabile presente è sotto l'azione di un quantificatore); tu spesso intendi una "proposizione".
Per "vero in tutti i modelli" si intende una formula "valida", cioè una formula che non può essere falsa in qualche struttura che soddisfa gli ipotetici assiomi. Se si è dentro una teoria completa (così com'è il campo dei numeri reali, per esempio), un enunciato vero in una certa struttura sarà valido, dato che tutti i modelli del campo dei reali sono elementarmente equivalenti tra di loro.
Comunque, ripeto, per capire in maniera non ambigua questi concetti, è consigliabile studiarseli bene, in maniera più o meno completa, piuttosto di sapere qualche definizione sporadica. Non mi sembra che i tuoi dubbi iniziali siano difficili da sciogliere, quindi è bene non complicarsi la vita con altri dubbi su argomenti (più o meno) sconosciuti
.La proposizione "3 è primo" è un teorema (assieme alla sua dimostrazione usando la definizione di numero primo). "se 3 è dispari, allora 3 è primo" sottintende una regola generale che se $n \in NN$ è dispari, allora $n$ è primo, e non fa nessun appello alla definizione di numero primo. E' giusto domandarsi certe cose, ma secondo me ti complichi senza motivo la vita, a volte.
Tu puoi usare una proposizione $A\to B$, con $A$ falsa, solo che non sarai mai in grado di farlo concretamente, dato che l'ipotesi non è mai verificata. In ogni caso, è bene negli esempi evitare frasi del linguaggio comune che non possono essere formalizzate, perché si possono creare ambiguità.
ok
hai ragione, bisogna prima studiare e per me ce ne vorrà di tempo ma i vostri chiarimenti sono stati lo stesso preziosi: nella mia testa ce un pò meno confusione di prima
grazie a tutti
ciao
hai ragione, bisogna prima studiare e per me ce ne vorrà di tempo ma i vostri chiarimenti sono stati lo stesso preziosi: nella mia testa ce un pò meno confusione di prima
grazie a tutti
ciao
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