Teorema fondamentale di omomorfismo
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione dell’unicità dell’isomorfismo $L:G/(Ker(f))->Im(f)$ , $L(Kg)=f(g)$
ove $f:G->G’$ omomorfismo e $(G,varphi),(G’,phi)$ gruppi
ove $f:G->G’$ omomorfismo e $(G,varphi),(G’,phi)$ gruppi
Risposte
Qui: http://web.math.unifi.it/users/casolo/dispense/algebra2_2015.pdf
A pagina 46 c'e' la dimostrazione e a pagina 47 l'enunciato, onestamente non l'ho letto, spero mostri anche l'unicita'.
A pagina 46 c'e' la dimostrazione e a pagina 47 l'enunciato, onestamente non l'ho letto, spero mostri anche l'unicita'.
Non dimostra un tubo 
Come in tutti questi casi, si fa a mano: quando qualcosa è definito mediante una proprietà universale, è unico a meno di un unico isomorfismo.
Prendi semplicemente un'altra mappa \(G/\ker f\to H\) che soddisfa la stessa proprietà universale che ti è richiesta dal problema universale e dimostra che coincide con quella che avevi all'inizio. E' un esercizio utile, prova a farlo da solo prima di chiedere come si fa, e se hai dei problemi chiedi per quelli, non per la soluzione.
Prendi semplicemente un'altra mappa \(G/\ker f\to H\) che soddisfa la stessa proprietà universale che ti è richiesta dal problema universale e dimostra che coincide con quella che avevi all'inizio. E' un esercizio utile, prova a farlo da solo prima di chiedere come si fa, e se hai dei problemi chiedi per quelli, non per la soluzione.
Lao sono dentro questo forum da parecchio, so come funziona.
So anche come fare la dimostrazione, semplicemente chiedevo delle dispense per confrontarla.
Saluti.
So anche come fare la dimostrazione, semplicemente chiedevo delle dispense per confrontarla.
Saluti.
Supponi di essere in questa situazione: \(\varphi\) e' un morfismo di gruppi \(\varphi : G\to H\) con nucleo $K$ e vuoi mostrare che esiste un unico \(\overline\varphi\) che chiude il triangolo commutativo
\(\overline\varphi\) e' forzato da questa condizione ad essere definito mandando \(gK\in G/K\) in \(\varphi(g)\), perche' $\pi$ e' un epimorfismo (questo significa che \(\overline\varphi\circ\pi = \hat\varphi\circ\pi\) implica che \(\overline\varphi = \hat\varphi\)). Che questa sia una buona definizione, cioe' che questa posizione definisce anzitutto una funzione (un elemento ha una immagine ben definita), e poi un morfismo di gruppi \(\overline\varphi\) rispetta le operazioni, e' un controllo istantaneo.
[tex]\xymatrix{
G \ar[r]^\varphi \ar[d]_{\pi_K} & H \\
G/K\ar@{.>}[ur]_{\overline\varphi}
}[/tex]
G \ar[r]^\varphi \ar[d]_{\pi_K} & H \\
G/K\ar@{.>}[ur]_{\overline\varphi}
}[/tex]
\(\overline\varphi\) e' forzato da questa condizione ad essere definito mandando \(gK\in G/K\) in \(\varphi(g)\), perche' $\pi$ e' un epimorfismo (questo significa che \(\overline\varphi\circ\pi = \hat\varphi\circ\pi\) implica che \(\overline\varphi = \hat\varphi\)). Che questa sia una buona definizione, cioe' che questa posizione definisce anzitutto una funzione (un elemento ha una immagine ben definita), e poi un morfismo di gruppi \(\overline\varphi\) rispetta le operazioni, e' un controllo istantaneo.
Secondo me sei parente di Killing.
Pronti. C'è qualcosa che non capisci, ora?
[xdom="gugo82"]Avevamo capito anche noi. Stiamo valutando la situazione.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Avevamo capito anche noi. Stiamo valutando la situazione.[/xdom]
"anto_zoolander":
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione dell’unicità dell’isomorfismo $L:G/(Ker(f))->Im(f)$ , $L(Kg)=f(g)$
ove $f:G->G’$ omomorfismo e $(G,varphi),(G’,phi)$ gruppi
Un piccolo consiglio: dovresti cercare di essere più preciso nell'esporre i problemi. Cosa intendi per unicità dell'isomorfismo? In generale esistono molteplici isomorfismi tra \(\displaystyle G/\ker(f) \) ed \(\displaystyle f(G) \). L'unicità è legata alla condizione \(\displaystyle f = L \circ \pi \) dove \(\pi\) è la mappa quoziente.
Era proprio questo il punto, quando lo studiai mi ero perso la condizione $f=Lcircpi$ 
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