Teorema fondamentale di isomorfismo
Premessa: quello che io chiamo teorema fondamentale di isomorfismo corrisponde a quello che Wikipedia chiama secondo teorema di isomorfismo.
Ad ogni modo...
Sia G gruppo, siano H e K sottogruppi di G con K normale in G. Allora:
- HK è sottogruppo di G;
- $HnnK$ è sottogruppo normale di H;
- $H/(HnnK)~=(HK)/K$.
Il mio dubbio riguarda l'ultimo punto.
Per dimostrarlo si considerano la proiezione canonica $pi:G->G/K$ e la sua restrizione $pi_(|H):H->G/K$, insieme al teorema fondamentale di omomorfismo.
Sul fatto che $ker(pi_(|K))=HnnK$ nessun problema ma perchè $im(pi_(|K))=(HK)/K$ e non $HK$?
Ad ogni modo...
Sia G gruppo, siano H e K sottogruppi di G con K normale in G. Allora:
- HK è sottogruppo di G;
- $HnnK$ è sottogruppo normale di H;
- $H/(HnnK)~=(HK)/K$.
Il mio dubbio riguarda l'ultimo punto.
Per dimostrarlo si considerano la proiezione canonica $pi:G->G/K$ e la sua restrizione $pi_(|H):H->G/K$, insieme al teorema fondamentale di omomorfismo.
Sul fatto che $ker(pi_(|K))=HnnK$ nessun problema ma perchè $im(pi_(|K))=(HK)/K$ e non $HK$?
Risposte
Ti dò un input.
La proiezione, esplicitamente, a ogni elemento associa la sua classe. Quindi manda il gruppo nel quoziente (insieme delle classi).
In altri termini, $Im(pi) = G/K$ , cioè appunto Il codominio della funzione proiezione è il quoziente. Quindi l'immagine di un sottogruppo di $G$ mediante $pi$ è un sottogruppo del quoziente! $HK$ è sottogruppo di $G$, quindi è impensabile che sia immagine di qualcosa mediante $pi$. Al contrario, $(HK)/K$ (che è corretto), è un sottogruppo di $G/K$ ..che è l'ambiente verso cui mappa l'applicazione $pi$.
La proiezione, esplicitamente, a ogni elemento associa la sua classe. Quindi manda il gruppo nel quoziente (insieme delle classi).
In altri termini, $Im(pi) = G/K$ , cioè appunto Il codominio della funzione proiezione è il quoziente. Quindi l'immagine di un sottogruppo di $G$ mediante $pi$ è un sottogruppo del quoziente! $HK$ è sottogruppo di $G$, quindi è impensabile che sia immagine di qualcosa mediante $pi$. Al contrario, $(HK)/K$ (che è corretto), è un sottogruppo di $G/K$ ..che è l'ambiente verso cui mappa l'applicazione $pi$.
Uhm...da un lato mi hai convinto ma allora non capisco dov'è che sbaglio il mio ragionamento.
$pi:G->G/K$ è definita da $pi(g)=gK$ giusto?
Analogamente $pi_(|H):H->G/K$ è definita da $pi_(|H)(h)=hK$ giusto?
Da qui ho ricavato che $im(pi_(|H))={hK|h\inH}=HK$.
$pi:G->G/K$ è definita da $pi(g)=gK$ giusto?
Analogamente $pi_(|H):H->G/K$ è definita da $pi_(|H)(h)=hK$ giusto?
Da qui ho ricavato che $im(pi_(|H))={hK|h\inH}=HK$.
Ti ricordo che $HK = {hk : h \in H, k \in K}$ è un insieme di elementi di $G$ mentre ${hK: h \in H }$ è un insieme di classi di equivalenza. 
Vediamo...la mia immagine è ${hK|h\inH}$.
Se K fosse sottogruppo normale di H allora questo insieme sarebbe $H/K$.
Siccome nel nostro caso non è detto che sia così ho che ${hK|h\inH}={hkK|h\inH,k\inK}=(HK)/K$ in quanto K è sottogruppo normale di $HK$ (K è normale in G e K=1K è sottogruppo di HK).
Se mi date conferma dovrei aver capito
Se K fosse sottogruppo normale di H allora questo insieme sarebbe $H/K$.
Siccome nel nostro caso non è detto che sia così ho che ${hK|h\inH}={hkK|h\inH,k\inK}=(HK)/K$ in quanto K è sottogruppo normale di $HK$ (K è normale in G e K=1K è sottogruppo di HK).
Se mi date conferma dovrei aver capito
Temo che non ci siamo!
Hai provato a consultare il libro di I.N. Herstein?
Ora ho sonno, se domani ho un po' di tempo ti scrivo tutto per bene. Mandami un messaggio privato per ricordarmi se presumi mi sia scordato
Hai provato a consultare il libro di I.N. Herstein?
Ora ho sonno, se domani ho un po' di tempo ti scrivo tutto per bene. Mandami un messaggio privato per ricordarmi se presumi mi sia scordato
Si esatto, $K$ è un sottogruppo normale in $HK$
Questi passaggi sono giusti.
"thedarkhero":
${hK|h\inH}={hkK|h\inH,k\inK}=(HK)/K$
Questi passaggi sono giusti.
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