Teorema fondamentale dell'algebra
Probabilmente sbaglio a postare questo problema qui...magari è troppo facile...o magari sono io...
Fatto sta che questo problema è tratto da un libro di Roger Penrose e io non riesco a trovare il giusto approccio...
Quindi ecco il problema
dimostrare che non esistono soluzioni nei numeri razionali all'equazione
$a^2=2b^2$
naturalmente ciò equivale a dire che $sqrt(2)$ è irrazionale
Per dimostrare ciò si utilizza la solita dimostrazione per assurdo.
Ovvero, ammettiamo che esistano soluzioni razionali
Allora $2b^2$ è pari, dunque anche $a^2$ è pari quuindi $a$ è pari visto che la radice di un numero pari è un numero pari.
Quindi possiamo scrivere $a=2c$ ovvero
$2b^2=4c^2$
ovvero $b^2=2c^2$
E così possiamo andare avanti all'infinito...
Ciò è dunque assurdo quindi non esistono soluzioni nei numeri razionali
Quindi ecco la soluzione...
Nelle note Penrose scrive:
Esercizio-----> DIMOSTRALO
Dimostra il fatto che dal teorema fondamentale dell'algebra si deduce che $sqrt(2)$ è irrazionale
Fatto sta che questo problema è tratto da un libro di Roger Penrose e io non riesco a trovare il giusto approccio...
Quindi ecco il problema
dimostrare che non esistono soluzioni nei numeri razionali all'equazione
$a^2=2b^2$
naturalmente ciò equivale a dire che $sqrt(2)$ è irrazionale
Per dimostrare ciò si utilizza la solita dimostrazione per assurdo.
Ovvero, ammettiamo che esistano soluzioni razionali
Allora $2b^2$ è pari, dunque anche $a^2$ è pari quuindi $a$ è pari visto che la radice di un numero pari è un numero pari.
Quindi possiamo scrivere $a=2c$ ovvero
$2b^2=4c^2$
ovvero $b^2=2c^2$
E così possiamo andare avanti all'infinito...
Ciò è dunque assurdo quindi non esistono soluzioni nei numeri razionali
Quindi ecco la soluzione...
Nelle note Penrose scrive:
"Roger Penrose":
Questa è una diretta consequenza del fatto che qualunque polinomio complesso nella sola variabile $z$ può essere fattorizzato in fattori lineari $a_0 + a_1 z^2 + ... +a_n z^n = a_n (z - b_1)(z - b_2)...(z-b_n)$, ed è questa l'affermazione che viene normalmente chiamata <>
Esercizio-----> DIMOSTRALO
Dimostra il fatto che dal teorema fondamentale dell'algebra si deduce che $sqrt(2)$ è irrazionale
Risposte
avevo paura che l'esercizio fosse di dimostrare il TFA ...
comunque non vedo come se ne possa dedurre l'irrazionalità di $sqrt{2}$
sei sicuro/a che sia cosi?
comunque non vedo come se ne possa dedurre l'irrazionalità di $sqrt{2}$
sei sicuro/a che sia cosi?
si si...
ma parecchi esercizi proposti da Roger Penrose nel libro "La strada che porta alla realtà" sono strani come questo...
ma parecchi esercizi proposti da Roger Penrose nel libro "La strada che porta alla realtà" sono strani come questo...
1. riportare correttamente ("verbatim") cosa dice Penrose
2. la solita dim dimostra che "$\sqrt 2$ non è razionale". Ovvero, tradotto in matematica, che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato faccia due
3. dire che radice due è irrazionale vuol dire che c'è un numero (dove sta?) il cui quadrato è due. Ovviamente non può essere un razionale
4. il TFA ci gaantisce che in $CC$ l'equazione $x^2 = 2$ ha soluzione e quindi che c'è (in $CC$) un numero, ovviamente "irrazionale", il cui quadrato fa due
5. non c'è bisogno del TFA per provare "l'esistenza di radice due". In ogni libro di analisi decente c'è la dim della esistenza della radice (quadrata) aritmetica di due. Ovvero di un numeo reale positivo il cui quadrato è due
6. pertanto tirare in ballo il TFA per dimostrare "l'esistenza di radice due" è ridicolo
2. la solita dim dimostra che "$\sqrt 2$ non è razionale". Ovvero, tradotto in matematica, che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato faccia due
3. dire che radice due è irrazionale vuol dire che c'è un numero (dove sta?) il cui quadrato è due. Ovviamente non può essere un razionale
4. il TFA ci gaantisce che in $CC$ l'equazione $x^2 = 2$ ha soluzione e quindi che c'è (in $CC$) un numero, ovviamente "irrazionale", il cui quadrato fa due
5. non c'è bisogno del TFA per provare "l'esistenza di radice due". In ogni libro di analisi decente c'è la dim della esistenza della radice (quadrata) aritmetica di due. Ovvero di un numeo reale positivo il cui quadrato è due
6. pertanto tirare in ballo il TFA per dimostrare "l'esistenza di radice due" è ridicolo
"Fioravante Patrone":
1. riportare correttamente ("verbatim") cosa dice Penrose
2. la solita dim dimostra che "$\sqrt 2$ non è razionale". Ovvero, tradotto in matematica, che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato faccia due
3. dire che radice due è irrazionale vuol dire che c'è un numero (dove sta?) il cui quadrato è due. Ovviamente non può essere un razionale
4. il TFA ci gaantisce che in $CC$ l'equazione $x^2 = 2$ ha soluzione e quindi che c'è (in $CC$) un numero, ovviamente "irrazionale", il cui quadrato fa due
5. non c'è bisogno del TFA per provare "l'esistenza di radice due". In ogni libro di analisi decente c'è la dim della esistenza della radice (quadrata) aritmetica di due. Ovvero di un numeo reale positivo il cui quadrato è due
6. pertanto tirare in ballo il TFA per dimostrare "l'esistenza di radice due" è ridicolo
Condivido...la questione è che il TFA veniva utilizzato per dimostrare che in $N$ non esistono soluzioni...
Mah...vedessi gli altri esercizi...
Comunque se proprio siete curiosi, Penrose ha creato un sito dove pubblica le soluzioni, se siete interessati la vado a trovare e la posto...
ditemi voi
"angus89":
Comunque se proprio siete curiosi, Penrose ha creato un sito dove pubblica le soluzioni, se siete interessati la vado a trovare e la posto...
ditemi voi
Io sono curioso
E' anche curioso notare che la dimostrazione classica dell'irrazionalita' della radice di due e' sostanzialmente il TFA, ma TFA sta per Teorema fondamentale dell'aritmetica. Il Teorema fondamentale dell'algebra e' la versione del TFA negli anelli di polinomi invece che in $\ZZ$.
sei passato all'algebra Luca?!
Proprio adesso che hai fatto la conversione all'Analisi tu? mai e poi mai!
io credo volesse dire che, per il TFA, esistono a e b in C tali che $x^2-2=(x-a)(x-b)$. ovviamente $b=-a$, per cui $x^2-2=(x-a)(x+a)$. a non può essere razionale perchè se lo fosse esisterebbero due interi p e q tali che $y^2-2q^2=(y-p)(y+p)$ nell'indeterminata y. Se uno fa i conti trova $3a^2=2-4/q^2=6$, da cui $q^2=-1$. basta sapere che il quadrato di un reale è sempre positivo per far vedere l'assurdo
Bene immytime... non l'avevo vista questa argomentazione! resta il fatto che scomodare TFA per una cosa
nota da due millenni prima è un pò macchinoso
@Luca
sono ubriaco di Analisi Funzionale
P.s. il Vitali che lavora con te c'entra con quello della funzione di Lebesgue-Vitali?
nota da due millenni prima è un pò macchinoso
@Luca
sono ubriaco di Analisi Funzionale
P.s. il Vitali che lavora con te c'entra con quello della funzione di Lebesgue-Vitali?
"ubermensch":
P.s. il Vitali che lavora con te c'entra con quello della funzione di Lebesgue-Vitali?
tutti gli analisti sanno che Giuseppe Vitali (1857-1932) è stato uno dei migliori allievi di Luca Lussardi (1820- ...)
quest'ultimo è famoso, come dovrebbe essere evidente, più per la sua straordinaria longevità che per i suoi contributi scientifici
Lussardi lavora tuttora con Enrico Vitali
vabbè.. che ne so... Vietoris (quello della successione di Mayer Vietoris) è vissuto 111 anni (1891-2002)...
magari Vitali è ancora vivo...
magari Vitali è ancora vivo...
"Inmytime":
io credo volesse dire che, per il TFA, esistono a e b in C tali che $x^2-2=(x-a)(x-b)$. ovviamente $b=-a$, per cui $x^2-2=(x-a)(x+a)$. a non può essere razionale perchè se lo fosse esisterebbero due interi p e q tali che $y^2-2q^2=(y-p)(y+p)$ nell'indeterminata y. Se uno fa i conti trova $3a^2=2-4/q^2=6$, da cui $q^2=-1$. basta sapere che il quadrato di un reale è sempre positivo per far vedere l'assurdo
Dov'è di preciso che hai utilizzato il fatto che $p$ e $q$ sono interi per ottenere l'equazione finale che ti ha portato alla contraddizione? Chiaramente $q^2\ne -1$ per tutti i reali, quindi in questo passaggio la contraddizione non e' dovuta al fatto che $q$ e' intero...
Ma quando cavolo è nato Vitali, nel 1857 o nel 1875? Se uno fa una ricerca su google si trovano dati diversi!
Il mistero si infittisce!
Il mistero si infittisce!
è nato nel 1875, mi sono sbagliato
vedi:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~his ... itali.html
(è una fonte autorevole)
comunque, Luca Lussardi può confermare meglio di me
vedi:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~his ... itali.html
(è una fonte autorevole)
comunque, Luca Lussardi può confermare meglio di me
"fields":
Dov'è di preciso che hai utilizzato il fatto che $p$ e $q$ sono interi per ottenere l'equazione finale che ti ha portato alla contraddizione? Chiaramente $q^2\ne -1$ per tutti i reali, quindi in questo passaggio la contraddizione non e' dovuta al fatto che $q$ e' intero...
si hai ragione, non ho fatto uso essenziale del fatto che p e q sono interi... quindi mi sa che ho sbagliato un conto. mi scuso per l'errore, mi pareva di aver avuto una illuminazione. ora però mi viene il sospetto che il TFA con il fatto che la radice di due è non razionale non c'entri un emerito niente...
Si, Giuseppe Vitali e' nato nel 1875. Non so se Enrico Vitali discenda da Giuseppe Vitali, geograficamente forse ci sta anche visto che Enrico Vitali e' nato a Parma mi pare. Domani sono a Pavia e glielo chiedo.
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