Teorema fondamentale dell'algebra

[Ariz93]

Qualcuno saprebbe postare un link in cui viene dimostrato usando il Lemma dei minimi locali?

[Luca.Lussardi]

Sposto, attenzione alla sezione.

[Ariz93]

Si scusami per l'errore e grazie.

[Studente Anonimo]

Cos'è il lemma dei minimi locali?

[Ariz93]

Lemma:
Se $z_0 in CC $ è un minimo relativo per $|p(z)|$.Se cioè $ \exists \delta >0 $ tale che $ \forall z in CC $ $|z-z_0|< \delta \Rightarrow |p(z)|< |p(z_0)| $

mi manca la dimostrazione del teorema con l'uso di questo Lemma, infatti da questo lemma dovrebbe uscire fuori che se :

$P(z)= a_0 z^n+a_1 z^{n-1}+...+a_n$ con almeno $a_0 != 0$ un polinomio di grado $ n>= 1$ a coefficienti $a_0,a_1,...,a_n in CC$ allora $P(z)$ ha almeno una radice $ \alpha in CC $ e cioè $ \exists \alpha in CC $ tale che $P( \alpha)=0 $ che è poi il Teorema.

[Studente Anonimo]

"Ariz93":Lemma:
Se $z_0 in CC $ è un minimo relativo per $|p(z)|$.Se cioè $ \exists \delta >0 $ tale che $ \forall z in CC $ $|z-z_0|< \delta \Rightarrow |p(z)|< |p(z_0)| $

In questo lemma ci sono le ipotesi ma manca la tesi.

[Ariz93]

Lemma:
Se $z_0 in CC $ è un punto di minimo locale per $|p(z)|$.( Cioè $ \exists \delta >0 $ tale che $ \forall z in CC $ $|z-z_0|< \delta \Rightarrow |p(z)|>=|p(z_0)| )$ allora $P_{z_0} =0 $
no capisco come da questo lemma arriva al teorema

[Studente Anonimo]

"Ariz93":Lemma:
Se $z_0 in CC $ è un punto di minimo locale per $|p(z)|$.( Cioè $ \exists \delta >0 $ tale che $ \forall z in CC $ $|z-z_0|< \delta \Rightarrow |p(z)|>=|p(z_0)| )$ allora $P_{z_0} =0 $

Cosa intendi con [tex]P_{z_0}[/tex]?

[Ariz93]

"Martino":[quote="Ariz93"]Lemma:
Se $z_0 in CC $ è un punto di minimo locale per $|p(z)|$.( Cioè $ \exists \delta >0 $ tale che $ \forall z in CC $ $|z-z_0|< \delta \Rightarrow |p(z)|>=|p(z_0)| )$ allora $P_{z_0} =0 $

Cosa intendi con [tex]P_{z_0}[/tex]?[/quote]
scusa m'impiccio ancora con il LaTex è $p(z_0)$

[Studente Anonimo]

Mi pare che basti prendere [tex]z_0[/tex] tale che [tex]|P(z_0)|[/tex] è minimo e applicare il lemma.

[Ariz93]

"Martino":Mi pare che basti prendere [tex]z_0[/tex] tale che [tex]|P(z_0)|[/tex] è minimo e applicare il lemma.

Si scusami Martino sto un po rincoglionito questi giorni, grazie della pazienza... già che ci sono ne approfitto perché le radici di un polinomio di grado n sono n? Inoltre perché i complessi vanno a coppie coniugate?

[Studente Anonimo]

Sono n per il teorema di Ruffini applicato n volte. Le radici di un polinomio a coefficienti reali vanno a coppie coniugate: coniuga entrambi i membri di [tex]P(a)=0[/tex] e ottieni [tex]P(\overline{a})=0[/tex].

[Ariz93]

"Martino":Sono n per il teorema di Ruffini applicato n volte. Le radici di un polinomio a coefficienti reali vanno a coppie coniugate: coniuga entrambi i membri di [tex]P(a)=0[/tex] e ottieni [tex]P(\overline{a})=0[/tex].

good e grazie ancora dela pazienza , buona serata