Teorema di Zsigmondy

[Enri071]

Scusatemi, sono nuovo e non so se ho scelto il giusto settore per l'argomento. Comunque la mia domanda riguarda il teorema di Zsigmondy, perché provando a risolvere l'equazione a^7+b^7=7^c, (con a,b,c interi positivi) ho trovato su Internet una risposta dove si diceva "ovviamente non ha soluzioni ed è dimostrato dal teorema di Zsigmondy". C'è qualcuno che potrebbe darmi un chiarimento in merito? Grazie mille.

[dissonance]

E che cos'è il "teorema di Zsigmondy"?

Sono molto pochi i teoremi che hanno un nome univocamente riconoscibile da tutti. Forse ce ne è solo uno: il teorema di Pitagora. Tutti gli altri necessitano di essere accompagnati da qualche spiegazione.

[axpgn]

Prova a vedere qui se ti è utile ...

Comunque, in prima lettura ho pensato al "teorema di Gimondi" ... ... scusate, non ho resistito ...

Cordialmente, Alex

[Enri071]

Grazie mille... voi il problema come lo avreste approcciato?

[Ernesto011]

A me era uscito al test della normale del 2014/2015, sono argomenti che non riguardo da un po'.
Dunque $a^7+b^7$ lo puoi considerare come polinomio in $a$, e noti che $a=-b$ è soluzione , cioè $a+b$ divide $a^7+b^7$.
Fai la divisione e ti viene $(a+b)(Q(a,b))=7^c$ dove $Q(a,b)$ è un polinomio misto
Ora non avendo $Q(a,b)$ sottomano non saprei concludere, ma puoi notare che affinchè valga l'uguaglianza necessariamente $7|a+b$ . Tenendo conto di questo, ti rimane da dimostrare (e non ricordo se è così immediato) che $Q(a,b)$ non è divisibile per $7$.

Potevi anche verificare che $7|a+b$ dal piccolo teorema di fermat, infatti ottieni $a^7-=a (mod 7)$, $b^7-=b (mod 7)$ e sommando membro a membro $a^7+b^7-=a+b (mod 7)$ e quindi $7^c-=a+b (mod 7)$

[spugna2]

Si può supporre che $a$ e $b$ non siano divisibili per $7$ (altrimenti si può dividere tutto per un'opportuna potenza di $7$ per ricondursi a questo caso), e il primo membro si scompone in due fattori che devono essere entrambi potenze di $7$: in particolare, il secondo fattore è

$a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6=$
$=(a+b)(a^5-2a^4b+3a^3b^2+3a^2b^3-2ab^4+b^5)-7a^3b^3$

e se $a+b>=49$, tale fattore non sarebbe divisibile per $49$, cioè potrebbe essere al massimo $7$, ma è facile convincersi che non può assumere valori così piccoli (se si tiene presente che $a+b>=7$): si conclude allora che $a+b=7$, ma allora il primo membro è $a^7+(7-a)^7$, che se sviluppato ha tutti i termini divisibili per $343$ tranne un $49a^6$, dunque l'equazione è $a^7+b^7=49$, impossibile perché $a^7+b^7>4^7>49$.

PS: se può interessare, qualche anno prima era uscito un problema analogo, che chiedeva di risolvere un'equazione più generale: $a^p+b^p=p^c$, dove $p$ può essere un numero primo qualsiasi.

PPS: credo sia il caso di spostare questo post in "Teoria dei numeri"...

[Enri071]

Grazie mille a tutti. Vi vorrei proporre la strada che avevo percorso io per avere dei pareri sulla correttezza o meno.
Avevo iniziato sostenendo che:
$a^7+b^7-=0$ $(mod7)$
Quindi per il teorema di Fermat sono arrivato a dire che:
$a+b-=0$ $(mod7)$ $rArr$ $a+b=7k$ $rArr$ $b=7k-a$
Qui si aprono due strade, quella in cui sia a che b sono divisibili per 7 e quella in cui nessuno dei due lo è. Se lo sono però divido tutto per 7 fin quando non mi riconduco al caso in cui nessuno dei due lo è.
Poi ho sostituito nella formula iniziale, e ho trovato che
$a^7+(7k-a)^7=7^c$
Ho svolto la parte sinistra con il binomio di Newton e ho trovato che tutti i valori sono divisibili per $49k$.
Da qui ho detto che, chiamato $m$ il più alto esponente in grado di dividere $a+b$:
$7^m|(a+b)$ $rArr$ $7^(m+1)|(a^7+b^7)$
Questo per quello che ho precedentemente dimostrato ovvero che $a+b=7k$ mentre $a^7+b^7=49k$.
A questo punto dato che:
$7^c|(a^7+b^7)$ $rArr$ $7^(c-1)|(a+b)$
Ma moltiplicando l'ultima parte per 7 otteniamo che $7^c|7(a+b)$, e questo è impossibile in quanto otterremo che:
$7(a+b)>=7^c=a^7+b^7$