Teorema di Zermelo

[Cantor99]

Salve, ho due dubbi sul teorema di Zermelo, che asserisce che in ogni insieme non vuoto esiste una relazione di buon ordine.
1) In base al teorema, in R e in Q esistono relazioni di buon ordine. E quali sarebbero?
2) Tali relazioni sono uniche? In N, per esempio, ce n'è un'altra oltre quella usuale $<=$?

[killing_buddha]

1) non si può dire, perché non c'è una dimostrazione costruttiva dell'esistenza di questi buoni ordini dato che questo teorema equivale all'assioma della scelta.
2) non sono uniche, almeno non in generale.

(peraltro era sufficiente googlare una frase opportuna che contenesse le keyword della tua domanda: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... lla_scelta )

[otta96]

"Cantor99":2) Tali relazioni sono uniche? In N, per esempio, ce n'è un'altra oltre quella usuale $<=$?

Potrebbe interessarti un esempio di buon ordine su $NN$ diverso da quello solito, te lo descrivo subito: prendi l'ordine che hai di solito, ma fai un cambiamento, prendi un numero a caso che ti piace, diciamo l'$1$, quello lo fai diventare un elemento maggiore di ogni altro in questo nuovo ordinamento e il resto lo lasci immutato.
Questo è un buon ordine diverso (nel senso di non isomorfo) da quello usuale.
Se ci rifletti un po' capirai che in ultima analisi il problema di ben ordinare un insieme (in almeno un modo, in tanti modi) dipende esclusivamente dalla sua cardinalità, in particolare ne esiste solo uno di buon ordine $<=>$ l'insieme è finito.