Teorema di transitività della norma
Ciao a tutti,
ho qualche difficoltà nel comprendere la dimostrazione di questo teorema:
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K \) un campo finito, \(\displaystyle F \) un'estensione di \(\displaystyle K \) e \(\displaystyle E \) un'estensione di \(\displaystyle F \). Allora
\(\displaystyle N_{E/K} (\alpha) = N_{F/K}(N_{E/F} (\alpha)) \ \ \ \ \forall \alpha \in E\)
DIMOSTRAZIONE: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) , \(\displaystyle [F] = m \) e \(\displaystyle [E] = n \) . Di conseguenza, per la formula di moltiplicatività del grado si ha \(\displaystyle [E] = mn \).
Allora per \(\displaystyle \alpha \in E \) si ha:
\(\displaystyle N_{F/K}(N_{E/F} (\alpha)) = N_{F/K}(\alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} ) = (\alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} )^{\frac{q^{m-1}}{q-1}} = N_{E/K} (\alpha) \)
DOMANDA:
1. Perchè \(\displaystyle N_{E/F} (\alpha) = \alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} \) ? Io avrei detto semplicemente \(\displaystyle N_{E/F} (\alpha) = \alpha^{\frac{q^{n-1}}{q-1}} \)
Grazie mille!!!
ho qualche difficoltà nel comprendere la dimostrazione di questo teorema:
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K \) un campo finito, \(\displaystyle F \) un'estensione di \(\displaystyle K \) e \(\displaystyle E \) un'estensione di \(\displaystyle F \). Allora
\(\displaystyle N_{E/K} (\alpha) = N_{F/K}(N_{E/F} (\alpha)) \ \ \ \ \forall \alpha \in E\)
DIMOSTRAZIONE: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) , \(\displaystyle [F] = m \) e \(\displaystyle [E] = n \) . Di conseguenza, per la formula di moltiplicatività del grado si ha \(\displaystyle [E] = mn \).
Allora per \(\displaystyle \alpha \in E \) si ha:
\(\displaystyle N_{F/K}(N_{E/F} (\alpha)) = N_{F/K}(\alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} ) = (\alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} )^{\frac{q^{m-1}}{q-1}} = N_{E/K} (\alpha) \)
DOMANDA:
1. Perchè \(\displaystyle N_{E/F} (\alpha) = \alpha^{\frac{q^{mn-1}}{q^m-1}} \) ? Io avrei detto semplicemente \(\displaystyle N_{E/F} (\alpha) = \alpha^{\frac{q^{n-1}}{q-1}} \)
Grazie mille!!!
Risposte
Se ti risulta che [tex]N_{E/F}(\alpha) = \alpha^{\frac{|E|-1}{|F|-1}}[/tex] allora dovrebbe esserti tutto chiaro
A dire il vero non la conoscevo quella formula... purtroppo ho a disposizine solo questa definizione (qualunque altra cosa cerchi ha a che fare con le matrici.. :S)
DEF (norma) : Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle \alpha \in F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la norma è \(\displaystyle N_{F/K} (\alpha) = \alpha \cdot \alpha^q \cdot \cdots \cdot \alpha^{q^{m-1}} \)
ma usando solo questa non riuscivo a capire come si otteneva quella del teorema.
Potresti cortesemente dirmi dove potrei trovare la dimostrazione della formula che indichi tu?
grazie mille!
DEF (norma) : Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle \alpha \in F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la norma è \(\displaystyle N_{F/K} (\alpha) = \alpha \cdot \alpha^q \cdot \cdots \cdot \alpha^{q^{m-1}} \)
ma usando solo questa non riuscivo a capire come si otteneva quella del teorema.
Potresti cortesemente dirmi dove potrei trovare la dimostrazione della formula che indichi tu?
grazie mille!
"Ania82":[tex]N_{F/K}(\alpha) = \alpha \cdot \alpha^q \cdot \cdots \cdot \alpha^{q^{m-1}} = \alpha^{1+q+q^2+\ldots+q^{m-1}} = \alpha^{\frac{q^m-1}{q-1}} = \alpha^{\frac{|F|-1}{|K|-1}}[/tex].
DEF (norma) : Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) e \(\displaystyle \alpha \in F = \mathbb{F}_{q^m} \). Allora la norma è \(\displaystyle N_{F/K} (\alpha) = \alpha \cdot \alpha^q \cdot \cdots \cdot \alpha^{q^{m-1}} \)
ma usando solo questa non riuscivo a capire come si otteneva quella del teorema.
Grazie!!
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