Teorema di Sylow: dimostrazione
All'interno della dimostrazione dell teorema di Sylow (Sia G gruppo finito, sia $|G|=mp^a$ con $p$ primo e $m$ intero positivo, $(m,p)=1$) allora esiste almeno un p-sottogruppo di Sylow, dove per p-sottogruppo di Sylow si intende un sottogruppo di G di ordine una potenza di p.
Nei primi passi della dimostrazione si considera l'insieme $H=\{ X \subseteq G, |X|=p^a\}$.
Allora la cardinalità di H non è divisibile per p. Infatti essa è data dal coefficiente binomiale $C_{p^am,p^a} =\frac{(p^am)(p^am-1)\cdot ...\cdot (p^am-i) (p^am-(p^a-1))}{(p^a)(p^a-1)\cdot ...\cdot (p^a-i)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$.
Non capisco perchè essa non possa essere divisibile per p. Inoltre leggo che $p^k$ divide $i \Leftrightarrow p$ divide $p^a-i$ Non capisco nemmeno come questa doppia implicazione possa c'entrare con tutto ciò.
Qualcuno riesce ad illuminarmi? Grazie mille!
Nei primi passi della dimostrazione si considera l'insieme $H=\{ X \subseteq G, |X|=p^a\}$.
Allora la cardinalità di H non è divisibile per p. Infatti essa è data dal coefficiente binomiale $C_{p^am,p^a} =\frac{(p^am)(p^am-1)\cdot ...\cdot (p^am-i) (p^am-(p^a-1))}{(p^a)(p^a-1)\cdot ...\cdot (p^a-i)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$.
Non capisco perchè essa non possa essere divisibile per p. Inoltre leggo che $p^k$ divide $i \Leftrightarrow p$ divide $p^a-i$ Non capisco nemmeno come questa doppia implicazione possa c'entrare con tutto ciò.
Qualcuno riesce ad illuminarmi? Grazie mille!
Risposte
"aram":Sicuro?
... dove per p-sottogruppo di Sylow si intende un sottogruppo di G di ordine una potenza di p.
Inoltre, quel coefficiente binomiale per come scritto ti conviene dapprima esemplificare... vedi bene!
Dunque, un p-sottogruppo di Sylow è un sottogruppo di un gruppo G, tale che, se $|G|=p^km$ con p primo, e $(p,m)=1$, ha ordine $p^k$. Nel coefficiente binomiale posso semplificare solo $p^a$ mi pare.
Salve, approfitto della discussione già aperta.
Io sull'Herstein ho la stessa dimostrazione (a pag 99-100).
Sostanzialmente si afferma che la potenza di $p$ che divide $(p^\alpha m - i)$ è la stessa di quella che divide $(p^\alpha - i)$. Fin qui sono d'accordo. (Immagino che il motivo sia che se una certa potenza $p^r|(p^\alpha m - i)$, allora essa deve dividere anche $i$, oltre che $p^\alpha$). Poi però dice che a seguito di questa osservazione, "tutte le potenze di $p$ scompaiono, ad eccezione di quella che divide $m$".
Allora $$ p^r | \begin{pmatrix} p^\alpha m \\ p^\alpha \end{pmatrix} $$ mentre $$p^{r+1}\dagger \begin{pmatrix} p^\alpha m \\ p^\alpha \end{pmatrix}$$
Io non ho capito dal virgolettato in poi. Qualcuno può darmi qualche suggerimento per favore?
Grazie in anticipo
Io sull'Herstein ho la stessa dimostrazione (a pag 99-100).
Sostanzialmente si afferma che la potenza di $p$ che divide $(p^\alpha m - i)$ è la stessa di quella che divide $(p^\alpha - i)$. Fin qui sono d'accordo. (Immagino che il motivo sia che se una certa potenza $p^r|(p^\alpha m - i)$, allora essa deve dividere anche $i$, oltre che $p^\alpha$). Poi però dice che a seguito di questa osservazione, "tutte le potenze di $p$ scompaiono, ad eccezione di quella che divide $m$".
Allora $$ p^r | \begin{pmatrix} p^\alpha m \\ p^\alpha \end{pmatrix} $$ mentre $$p^{r+1}\dagger \begin{pmatrix} p^\alpha m \\ p^\alpha \end{pmatrix}$$
Io non ho capito dal virgolettato in poi. Qualcuno può darmi qualche suggerimento per favore?
Grazie in anticipo
Isaac888, l'Herstein sta considerando il caso generale in cui $m$ è divisibile per $p$. Nello specifico, chiama $p^r$ la massima potenza di $p$ che divide $m$, e argomenta che $p^r$ è anche la massima potenza di $p$ che divide [tex]\binom{p^{\alpha}m}{p^{\alpha}}[/tex].
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