Teorema di prolungamento
Salve a tutti. In Algebra 2, uno dei teoremi di prolungamento dimostra l'esistenza di un isomorfismo tra due estensioni semplici di due sottocampi. Non riesco a dimostrare appunto che si tratti di un omomorfismo, quindi che conserva il prodotto. Qualcuno può aiutarmi? Se c'è sul Forum qualcuno che conosce l'argomento, posso poi fornire maggiori dettagli. Grazie infinite!
Rodolfo
Rodolfo
Risposte
Ciao.
Qual è l'enunciato del teorema?
Qual è l'enunciato del teorema?
L'enunciato è il seguente:
Siano $F_1$ e $F_2$ campi, $K_1$ un sottocampo di $F_1$, $K_2$ un sottocampo di
$F_2$, $\sigma: K_1 \to K_2$ un isomorfismo, $\overline \sigma: K_1[x_{K_1}]
\to K_2[x_{K_2}]$ l'isomorfismo indotto da $\sigma$, $p_1 \in
K_1[x_{K_1}]$ irriducibile, $p_2 = \overline \sigma(p_1)$, $a_1 \in F_1$ una
radice di $p_1$ e $a_2 \in F_2$ una radice di $p_2$. Orbene, esiste un unico
isomorfismo $\tau: K_1(a_1) \to K_1(a_2)$ tale che $\tau(b) = \sigma(b)$ per
ogni $b \in K_1$ e $\tau(a_1) = a_2$.
$K_1(a_1)$ e $K_2(a_2)$ denotano, rispettivam, il sottocampo di $F_1$ generato
da $K_1 \cup \{a_1\}$ e il sottocampo di $F_2$ generato da $K_2 \cup \{a_2\}$.
Nella dimostraz si fa vedere che $p_1$ e $p_2$ hanno lo stesso grado $n > 0$
del polinomio minimo rispettivam di $a_1$ su $K_1$ e di $a_2$ su $K_2$ ergo ogni
elem di $K_1(a_1)$ può scriversi in un sol modo nella forma $b_0 + b_1 a_1 +
\ldots + b_{n - 1} a_1^{n - 1}$ con $b_0, b_1, \ldots, b_{n - 1} \in K_1$ e
ogni elemento di $K_2(a_2)$ pu\`o scriversi in un solo modo nella forma $c_0 +
c_1 a_2 + \ldots + c_{n - 1} a_2^{n - 1}$ con $c_0, c_1, \ldots, c_{n - 1} \in
K_2$. Ergo resta definita l'applicazione $\tau: b_0 + b_1 a_1 + \ldots + b_{n -1}
a_1^{n - 1} \in K_1(a_1) \to \sigma(b_0) + \sigma(b_1) a_2 + \ldots + \sigma(b_{n - 1}) a_2^{n - 1}
\in K_2(a_2)$.
Ora, quello che non riesco a dimostrare è che $\tau$ è un omomorfismo rispetto
al prodotto. Infatti, moltiplicando fra loro due elementi $b_0 + b_1 a_1 + \ldots + b_{n - 1}
a_1^{n - 1}$ e $b'_0 + b'_1 a_1 + \ldots + b'_{n - 1} a_1^{n - 1}$ di $K_1(a_1)$ si ottiene un somma di $2 n$ termini,
alla quale non so poi come applicare $\tau$ dal momento che, per come
è definita, $\tau$ agisce su somme di $n$ termini.
Non so se è chiaro.
Grazie.
Siano $F_1$ e $F_2$ campi, $K_1$ un sottocampo di $F_1$, $K_2$ un sottocampo di
$F_2$, $\sigma: K_1 \to K_2$ un isomorfismo, $\overline \sigma: K_1[x_{K_1}]
\to K_2[x_{K_2}]$ l'isomorfismo indotto da $\sigma$, $p_1 \in
K_1[x_{K_1}]$ irriducibile, $p_2 = \overline \sigma(p_1)$, $a_1 \in F_1$ una
radice di $p_1$ e $a_2 \in F_2$ una radice di $p_2$. Orbene, esiste un unico
isomorfismo $\tau: K_1(a_1) \to K_1(a_2)$ tale che $\tau(b) = \sigma(b)$ per
ogni $b \in K_1$ e $\tau(a_1) = a_2$.
$K_1(a_1)$ e $K_2(a_2)$ denotano, rispettivam, il sottocampo di $F_1$ generato
da $K_1 \cup \{a_1\}$ e il sottocampo di $F_2$ generato da $K_2 \cup \{a_2\}$.
Nella dimostraz si fa vedere che $p_1$ e $p_2$ hanno lo stesso grado $n > 0$
del polinomio minimo rispettivam di $a_1$ su $K_1$ e di $a_2$ su $K_2$ ergo ogni
elem di $K_1(a_1)$ può scriversi in un sol modo nella forma $b_0 + b_1 a_1 +
\ldots + b_{n - 1} a_1^{n - 1}$ con $b_0, b_1, \ldots, b_{n - 1} \in K_1$ e
ogni elemento di $K_2(a_2)$ pu\`o scriversi in un solo modo nella forma $c_0 +
c_1 a_2 + \ldots + c_{n - 1} a_2^{n - 1}$ con $c_0, c_1, \ldots, c_{n - 1} \in
K_2$. Ergo resta definita l'applicazione $\tau: b_0 + b_1 a_1 + \ldots + b_{n -1}
a_1^{n - 1} \in K_1(a_1) \to \sigma(b_0) + \sigma(b_1) a_2 + \ldots + \sigma(b_{n - 1}) a_2^{n - 1}
\in K_2(a_2)$.
Ora, quello che non riesco a dimostrare è che $\tau$ è un omomorfismo rispetto
al prodotto. Infatti, moltiplicando fra loro due elementi $b_0 + b_1 a_1 + \ldots + b_{n - 1}
a_1^{n - 1}$ e $b'_0 + b'_1 a_1 + \ldots + b'_{n - 1} a_1^{n - 1}$ di $K_1(a_1)$ si ottiene un somma di $2 n$ termini,
alla quale non so poi come applicare $\tau$ dal momento che, per come
è definita, $\tau$ agisce su somme di $n$ termini.
Non so se è chiaro.
Grazie.
Chiarissimo.
Però non è affatto vero che
Agisce su elementi di $K(a_1)$, il quale è generato su $K$ da $n$ elementi. Quindi puoi definire $\tau$ dicendo come si comporta su elementi di una base ed estenderla linearmente su $K$.
D'altra parte, tu stesso hai scritto che ogni elemento di $K(a_1)$ può essere scritto come combinazione $K$-lineare di $1,a,\ldots,a^{n-1}$. In particolare, anche $a^n, a^{n+1}, \ldots, a^{2n}$, che sono i termini che compaiono nel tuo prodotto, possono essere scritti in quella maniera, quindi il tuo prodotto è di fatto, se scritto opportunamente, una combinazione $K$-lineare dei tuoi $n$ elementi di base.
Per la tua dimostrazione, ti consiglio di usare l'induzione su $n$: nel caso $n=1$ è facile vedere che quel prodotto si scrive effettivamente come combinazione degli (quanti?) elementi di base, poi nel caso generale dovrai solo passare da $n$ a $n-1$.
Se hai ancora difficoltà siamo qui.
Però non è affatto vero che
"Rodolfo Medina":
$ \tau $ agisce su somme di $ n $ termini.
Agisce su elementi di $K(a_1)$, il quale è generato su $K$ da $n$ elementi. Quindi puoi definire $\tau$ dicendo come si comporta su elementi di una base ed estenderla linearmente su $K$.
D'altra parte, tu stesso hai scritto che ogni elemento di $K(a_1)$ può essere scritto come combinazione $K$-lineare di $1,a,\ldots,a^{n-1}$. In particolare, anche $a^n, a^{n+1}, \ldots, a^{2n}$, che sono i termini che compaiono nel tuo prodotto, possono essere scritti in quella maniera, quindi il tuo prodotto è di fatto, se scritto opportunamente, una combinazione $K$-lineare dei tuoi $n$ elementi di base.
Per la tua dimostrazione, ti consiglio di usare l'induzione su $n$: nel caso $n=1$ è facile vedere che quel prodotto si scrive effettivamente come combinazione degli (quanti?) elementi di base, poi nel caso generale dovrai solo passare da $n$ a $n-1$.
Se hai ancora difficoltà siamo qui.
Forse ci sono... Grazie.
Rodolfo
Rodolfo
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