Teorema di Lagrange(Gruppi)

[anto_zoolander]

Ho dimostrato il teorema di Lagrange nel modo seguente e vorrei sapere se sia corretto

dato un gruppo $(G,times)$ e un sottogruppo $HleqG$.

$exists n inNN:o(G)=n => o(H)|o(G)$

la dimostrazione mi sembra filare liscio.
poiché $G$ è finito poniamo $G={g_1,...,g_n}$ sia $R$ la congruenza destra modulo $H$ e poniamo $G/R={Hx : x inG}={Hg_1,...,Hg_n}$ essendo $R$ un'equivalenza di $G$ l'insieme $G/R$ è una famiglia che partiziona l'insieme $G$ in classi di equivalenza. Possiamo supporre che tra i laterali destri ve ne siano $1leqjleqn$ distinti che chiamiamo $H_1,...,H_j$.
E' noto che tutti i laterali destri abbiano la stessa cardinalità, quella del sottogruppo $H$ pertanto

$o(bigcup_(k inI_j)H_k)=o(G)$

sappiamo quelle classi sono tutte distinte quindi disgiunte e applicando il principio di inclusione esclusione

$o(G)=o(bigcup_(k inI_j)H_k)=sum_(k inI_j)o(H_k)=sum_(k in I_J)o(H)=j*o(H)$

quindi in particolare l'ordine di $G$ coincide con l'ordine di $H$ per il numero di laterali destri distinti

NB: $I_n:={k inNN:1leqkleqn}$

[killing_buddha]

Sì, che problema vedi?

Più agilmente: i laterali destri sono coincidenti o disgiunti, sicché alcuni sottoinsiemi tutti equipotenti partizionano l'insieme \(|G|\); l'unica possibilità è che $|G| = k|H|$ per qualche $k\in\mathbb N$.

(rilancia: si può fare la stessa cosa per gruppi infiniti?)

[anto_zoolander]

Dipende.
Se si possa definire qualcosa mediante i cardinali, non saprei.

preso $(G,times)$ gruppo infinito
Intuitivamente se esistesse e conoscessi la definizione di divisione tra due cardinali, avrei due casi:

$G$ infinito e $HleqG$ finito dovrei avere che esista un intero $n inZZ: o(G)=n*o(H)$ il che sarebbe assurdo poichè prodotto di due quantità finite che restituisce una quantità finita.

$G$ infinito e $HleqG$ infinito(se è dedekind infinito sappiamo che non necessariamente esso debba avere lo stesso cardinale di $G$, ma potrebbe anche avere lo stesso cardinale di $NN$) allora dovrei avere che fare con il prodotto di un cardinale per un numero intero, cosa di cui non ho minimamente idea.

Quindi direi: in generale no, per la prima osservazione.