Teorema di Lagrange per gruppi infiniti
Buongiorno a tutti.
Come noto, il teorema di lagrange afferma che, se \(\displaystyle G \) è un gruppo finito e \(\displaystyle H \) è un suo sottogruppo, allora \(\displaystyle |G|=|H| |G/H| \) dove \(\displaystyle G/H \) è l'insieme delle classi laterali (destre o sinistre) di \(\displaystyle G \) modulo \(\displaystyle H \).
Mi chiedevo: è possibile estendere questo risultato al caso di gruppi infiniti? Da qualche parte ho letto che non è possibile, ma a me sembra di averlo dimostrato...
Sia \(\displaystyle G \) un gruppo e \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo. Allora \(\displaystyle H \) agisce su \(\displaystyle G \) in modo naturale mediante moltiplicazione a sinistra. L'orbita di \(\displaystyle g\in G \) è il laterale destro \(\displaystyle Hg \), e quindi l'insieme \(\displaystyle G/H \) (laterali destri) è esattamente l'insieme delle orbite. Ora, l'azione di \(\displaystyle H \) su \(\displaystyle G \) è fedele, in quanto \(\displaystyle hg=g \Rightarrow h=1 \). Ne consegue che ogni stabilizzatore è banale, e quindi che esiste una corrispondenza biunivoca tra \(\displaystyle H \) e ogni orbita \(\displaystyle Hg \) data da \(\displaystyle h\mapsto hg \). Dato che le orbite partizionano il gruppo, si ha che, detto \(\displaystyle \{g_i\}_{i\in I} \) un insieme di rappresentanti per le orbite di \(\displaystyle G \) modulo \(\displaystyle H \), si ha \(\displaystyle |G|=\sum_{i\in I} |Hg_i|=\sum_{i\in I} |H| \). Ora, l'unione disgiunta \(\displaystyle H \times I \) ha evidentemente cardinalità \(\displaystyle \sum_{i\in I} |H| \) e quindi, per definizione di moltiplicazione di cardinali, si ha \(\displaystyle |G|=|I||H| \). \(\displaystyle I \) ha la stessa cardinalità dell'insieme delle classi laterali, per cui \(\displaystyle |I|=|G/H| \) , da cui la tesi \(\displaystyle |G|=|H||G/H| \)
cosa sbaglio?
Come noto, il teorema di lagrange afferma che, se \(\displaystyle G \) è un gruppo finito e \(\displaystyle H \) è un suo sottogruppo, allora \(\displaystyle |G|=|H| |G/H| \) dove \(\displaystyle G/H \) è l'insieme delle classi laterali (destre o sinistre) di \(\displaystyle G \) modulo \(\displaystyle H \).
Mi chiedevo: è possibile estendere questo risultato al caso di gruppi infiniti? Da qualche parte ho letto che non è possibile, ma a me sembra di averlo dimostrato...
Sia \(\displaystyle G \) un gruppo e \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo. Allora \(\displaystyle H \) agisce su \(\displaystyle G \) in modo naturale mediante moltiplicazione a sinistra. L'orbita di \(\displaystyle g\in G \) è il laterale destro \(\displaystyle Hg \), e quindi l'insieme \(\displaystyle G/H \) (laterali destri) è esattamente l'insieme delle orbite. Ora, l'azione di \(\displaystyle H \) su \(\displaystyle G \) è fedele, in quanto \(\displaystyle hg=g \Rightarrow h=1 \). Ne consegue che ogni stabilizzatore è banale, e quindi che esiste una corrispondenza biunivoca tra \(\displaystyle H \) e ogni orbita \(\displaystyle Hg \) data da \(\displaystyle h\mapsto hg \). Dato che le orbite partizionano il gruppo, si ha che, detto \(\displaystyle \{g_i\}_{i\in I} \) un insieme di rappresentanti per le orbite di \(\displaystyle G \) modulo \(\displaystyle H \), si ha \(\displaystyle |G|=\sum_{i\in I} |Hg_i|=\sum_{i\in I} |H| \). Ora, l'unione disgiunta \(\displaystyle H \times I \) ha evidentemente cardinalità \(\displaystyle \sum_{i\in I} |H| \) e quindi, per definizione di moltiplicazione di cardinali, si ha \(\displaystyle |G|=|I||H| \). \(\displaystyle I \) ha la stessa cardinalità dell'insieme delle classi laterali, per cui \(\displaystyle |I|=|G/H| \) , da cui la tesi \(\displaystyle |G|=|H||G/H| \)
cosa sbaglio?
Risposte
E' giusto.
Esiste una versione profinita del teorema di Lagrange. Se ti interessa posso entrare in dettagli
Esiste una versione profinita del teorema di Lagrange. Se ti interessa posso entrare in dettagli
"Martino":
E' giusto.
Esiste una versione profinita del teorema di Lagrange. Se ti interessa posso entrare in dettagli
Non so cosa sia un gruppo profinito per mia sfortuna
Un esempio di gruppo profinito è il prodotto diretto di una qualsiasi famiglia di gruppi finiti. Per esempio [tex]\prod_{n \geq 1} \text{Sym}(n)[/tex] è un gruppo profinito, dove [tex]\text{Sym}(n)[/tex] indica il gruppo simmetrico di grado [tex]n[/tex].
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