Teorema di Lagrange
Qualcuno di buona volontà mi potrebbe spiegare cosa si intende per "Non inversione del teorema di lagrange?"
e perchè $A_4$ è il più piccolo gruppo in cui esso non si inverte?!
grazie
e perchè $A_4$ è il più piccolo gruppo in cui esso non si inverte?!
grazie
Risposte
Il teorema di Lagrange afferma che l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo.
Il "viceversa" affermerebbe che dato un gruppo finito $G$, per ogni divisore $d$ di $|G|$ esiste un sottogruppo $H$ di $G$ di ordine $d$.
In $A_4$, che ha ordine $12$, non esistono sottogruppi di ordine $6$. Quindi $A_4$ è un controesempio al suddetto viceversa, che quindi è falso.
Il "viceversa" affermerebbe che dato un gruppo finito $G$, per ogni divisore $d$ di $|G|$ esiste un sottogruppo $H$ di $G$ di ordine $d$.
In $A_4$, che ha ordine $12$, non esistono sottogruppi di ordine $6$. Quindi $A_4$ è un controesempio al suddetto viceversa, che quindi è falso.
ho capito....grazie
PS
scusa la domanda, ma tu sei algebrista? Nel senso che vedendoti spesso rispondere in questa sezione del forum, mi chiedevo se lo fossi.
PS
scusa la domanda, ma tu sei algebrista? Nel senso che vedendoti spesso rispondere in questa sezione del forum, mi chiedevo se lo fossi.
"Lorin":Diciamo che ho fatto la tesi di teoria dei gruppi e farò un dottorato di teoria dei gruppi
PS
scusa la domanda, ma tu sei algebrista? Nel senso che vedendoti spesso rispondere in questa sezione del forum, mi chiedevo se lo fossi.
quindi in un certo senso sì.
Riapro la discussione dopo due anni.
Volevo appunto chiedere spiegazioni riguardo al controesempio del teorema di Lagrange per gruppi, quindi mi sembra inutile aprire un nuovo post.
Come faccio a dimostrare che in $A_4$ non ci sono sottogruppi di ordine 6?
Intendo dire che $A_4$ e' un gruppo piccolino, quindi posso verificarlo empiricamente.
La mia domanda e' questa:
Esiste un algoritmo semplice per verificare se un gruppo ammette sottogruppi di un certo ordine?
Per esempio esistono sottogruppi di ordine 36 di $A_6$ (che ha ordine 360) ?
Volevo appunto chiedere spiegazioni riguardo al controesempio del teorema di Lagrange per gruppi, quindi mi sembra inutile aprire un nuovo post.
Come faccio a dimostrare che in $A_4$ non ci sono sottogruppi di ordine 6?
Intendo dire che $A_4$ e' un gruppo piccolino, quindi posso verificarlo empiricamente.
La mia domanda e' questa:
Esiste un algoritmo semplice per verificare se un gruppo ammette sottogruppi di un certo ordine?
Per esempio esistono sottogruppi di ordine 36 di $A_6$ (che ha ordine 360) ?
Un metodo "rapido" per ciò che ne so io non puoi di certo trovarlo , quindi devi trovare degli escamotage . Nel caso della non-esistenza di un sottogruppo di ordine 6 nel tuo \(A_4\) puoi ragionare per assurdo ammettendo l'esistenza di un sottogruppo di ordine 6 ed in tal modo arriverai ad un assurdo . Ma ti dico che in generale non esiste un metodo universale per verificare l'esistenza o meno di determinati sottogruppi , se non nei casi in cui puoi invertire il teorema di Lagrange .
"menale":
Un metodo "rapido" per ciò che ne so io non puoi di certo trovarlo , quindi devi trovare degli escamotage . Nel caso della non-esistenza di un sottogruppo di ordine 6 nel tuo \(A_4\) puoi ragionare per assurdo ammettendo l'esistenza di un sottogruppo di ordine 6 ed in tal modo arriverai ad un assurdo . Ma ti dico che in generale non esiste un metodo universale per verificare l'esistenza o meno di determinati sottogruppi , se non nei casi in cui puoi invertire il teorema di Lagrange .
E direi che uno strumento utile di investigazione dei gruppi ed eventuale struttura sono i teoremi di Sylow, che sono dei risultati che in parte risolvono il problema dell'invertibilità del teorema di Lagrange
Un'osservazione idiota, che però qualcuno deve pur fare: il teorema di Lagrange si inverte completamente per i gruppi ciclici. E' un buon risultato, da tenere a mente.
Secondo me è una finezza!
Come faccio a dimostrare che in $A_4$ non ci sono sottogruppi di ordine 6?Detto [tex]H[/tex] un sottogruppo di [tex]A_4[/tex] di ordine 6, esso dev'essere normale (avendo indice 2), quindi [tex]A_4[/tex] ci agisce sopra per coniugio e manda il suo sottogruppo di ordine 3 in se stesso (un gruppo di ordine 6 ha un solo sottogruppo di ordine 3: il suo 3-Sylow), e questo contraddice il fatto (elementare da verificare a mano - ci vogliono dieci secondi) che [tex]A_4[/tex] non ha sottogruppi normali di ordine 3.
Intendo dire che $A_4$ e' un gruppo piccolino, quindi posso verificarlo empiricamente.
La mia domanda e' questa:Purtroppo no.
Esiste un algoritmo semplice per verificare se un gruppo ammette sottogruppi di un certo ordine?
Per esempio esistono sottogruppi di ordine 36 di $A_6$ (che ha ordine 360) ?Sì, un esempio e' il seguente: [tex]\langle (123),\ (456),\ (1425)(36) \rangle[/tex]. L'ho ottenuto considerando un sottogruppo di ordine 9 - necessariamente della forma [tex]C_3 \times C_3[/tex], e quindi posso supporre che sia [tex]\langle (123),(456) \rangle[/tex] - e poi cercando un elemento di ordine 4 che lo normalizzi (nella fattispecie, il coniugio con [tex](1425)(36)[/tex] fa [tex](123) \mapsto (456) \mapsto (123)^{-1}[/tex]).
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Aggiungo che il teorema di Lagrange si inverte completamente per i gruppi finiti nilpotenti (che sono i prodotti diretti finiti di gruppi finiti di ordine una potenza di un primo). In generale non vale l'unicità.
Non dimentichiamo il teorema di Hall: Se [tex]G[/tex] è un gruppo risolubile finito e [tex]d[/tex] è un divisore di [tex]|G|[/tex] coprimo con [tex]|G|/d[/tex] allora esiste [tex]H \leq G[/tex] di ordine [tex]d[/tex] (e tutti i sottogruppi di ordine [tex]d[/tex] sono coniugati).
E non dimentichiamo il teorema di Schur-Zassenhaus: se [tex]G[/tex] è un gruppo finito con un sottogruppo normale [tex]N[/tex] tale che [tex]|N|[/tex] e [tex]|G:N|[/tex] sono coprimi allora esiste [tex]H \leq G[/tex] di ordine [tex]|G:N|[/tex].
Aggiungerei un paio di spunti di riflessione (non difficili).
Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito.
Se per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un sottogruppo di ordine [tex]d[/tex], allora [tex]G[/tex] è risolubile.
Se per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un unico sottogruppo di ordine [tex]d[/tex], allora [tex]G[/tex] è ciclico.
(non difficili).Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito.
Se per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un sottogruppo di ordine [tex]d[/tex], allora [tex]G[/tex] è risolubile.
Se per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un unico sottogruppo di ordine [tex]d[/tex], allora [tex]G[/tex] è ciclico.
Grazie a tutti quanti, sono riuscito a riorganizzare un po' le idee in merito!
Per quanto riguarda i teoremi di Sylow, purtroppo non posso farne uso perché il mio prof non li ha trattati; li "conosco" dagli appunti del corso a lui precedente ma non li ho studiati granché proprio per questo motivo.
Del teorema di Hall e di Schur-Zassenhaus invece non sapevo nemmeno dell'esistenza ma possono avere una bella utilità!
@Martino: ho visto ora tutta la raccolta che hai messo insieme su gruppi anelli ideali e quant'altro. Stavo per formulare un'altra domanda ma prima vado a cercare un po' li dentro!
Per quanto riguarda i teoremi di Sylow, purtroppo non posso farne uso perché il mio prof non li ha trattati; li "conosco" dagli appunti del corso a lui precedente ma non li ho studiati granché proprio per questo motivo.
Del teorema di Hall e di Schur-Zassenhaus invece non sapevo nemmeno dell'esistenza ma possono avere una bella utilità!
@Martino: ho visto ora tutta la raccolta che hai messo insieme su gruppi anelli ideali e quant'altro. Stavo per formulare un'altra domanda ma prima vado a cercare un po' li dentro!
Martino , cosa si intende per gruppo risolubile ??
Grazie Martino . Leggendo il file si parla della congettura di Burnside divenuto ora teorema di Feit-Thompson , mentre sul mio testo sotto questo nome è riportato il teorema secondo il quale : ogni gruppo semplice finito non abeliano ha ordine pari . Potresti , gentilmente , chiarire un po' le cose !
"menale":Dato un gruppo [tex]G[/tex] (finito), è naturale cercare di scrivere una sequenza della forma [tex]\{1\} \lhd H_1 \lhd H_2 \lhd ... \lhd H_k = G[/tex], e più lunga possibile. Naturalmente la lunghezza di questa sequenza è massimizzata quando i quozienti [tex]H_i/H_{i-1}[/tex] sono tutti gruppi semplici. In questo caso la sequenza trovata si chiama "serie di composizione" e i suoi quozienti [tex]H_i/H_{i-1}[/tex] si chiamano "fattori di composizione".
Grazie Martino . Leggendo il file si parla della congettura di Burnside divenuto ora teorema di Feit-Thompson , mentre sul mio testo sotto questo nome è riportato il teorema secondo il quale : ogni gruppo semplice finito non abeliano ha ordine pari . Potresti , gentilmente , chiarire un po' le cose !
C'è un risultato, il teorema di Jordan-Holder, che afferma che le serie di composizione sono tutte lunghe uguali e hanno gli stessi fattori di composizione, non necessariamente nello stesso ordine di apparizione. Ad ogni gruppo finito possiamo quindi associare un particolare insieme di gruppi semplici che sono i suoi "fattori di composizione" (se uno va a vedere cosa significa questo per i gruppi ciclici, scopre che corrisponde a prendere un numero naturale e guardare i suoi fattori primi).
E' naturale esaminare il caso in cui i fattori di composizione sono tutti abeliani. Un gruppo finito i cui fattori di composizione sono tutti abeliani si dice risolubile.
Ora:
- Se ogni gruppo di ordine dispari è risolubile allora è chiaro che un gruppo semplice non abeliano, essendo non risolubile, deve avere ordine pari.
- Se ogni gruppo semplice non abeliano ha ordine pari allora i fattori di composizione di un gruppo [tex]G[/tex] di ordine dispari hanno tutti ordine dispari e quindi, essendo semplici, sono abeliani - in altre parole [tex]G[/tex] è risolubile.
Quindi i due teoremi che ho citato sono sostanzialmente due facce di una stessa medaglia ?!? Grazie mille , Martino , trovata la quadratura del cerchio !!
"Martino":Per cronaca siffatti gruppi si dicono lagrangiani o CLT (Conversly Lagrange Theorem)!
...Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito.
Se per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un sottogruppo di ordine [tex]d[/tex]...
@j8eos - Parli pur sempre dei gruppi risolubili ?
"menale":
@j8eos - Parli pur sempre dei gruppi risolubili ?
ti consiglio di usare wikipedia: vedi [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory)]qui[/url], paragrafo "Existence of subgroups of given order". C'è scritto: "Wikipedia":
Lagrange's theorem raises the converse question as to whether every divisor of the order of a group is the order of some subgroup. This does not hold in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d. The smallest example is the alternating group G = A4 which has 12 elements but no subgroup of order 6. A CLT group is a finite group with the property that for every divisor of the order of the group, there is a subgroup of that order. It is known that a CLT group must be solvable and that every supersolvable group is a CLT group: however there exist solvable groups which are not CLT and CLT groups which are not supersolvable.
There are partial converses to Lagrange's theorem. For general groups, Cauchy's theorem guarantees the existence of an element, and hence of a cyclic subgroup, of order any prime dividing the group order; Sylow's theorem extends this to the existence of a subgroup of order equal to the maximal power of any prime dividing the group order. For solvable groups, Hall's theorems assert the existence of a subgroup of order equal to any unitary divisor of the group order (that is, a divisor coprime to its cofactor).
OK , mi fido di wikipedia ! Grazie ancora , Martino !
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