Teorema di Kegel e Wielandt
Ciao a tutti. Sto affrontando la dimostrazione del teorema di Kegel e Wielandt. Il teorema afferma che un gruppo finito prodotto di due sottogruppi nilpotenti è risolubile. Il teorema si divide in vari lemmi ed io sto avendo difficoltà con l'ultimo passaggio del primo di questi lemmi. Cerco di riassumervi un po' i passaggi fatti fino al punto, per me, cruciale.
Innanzitutto si suppone che il teorema sia falso e si considera il gruppo G, prodotto di due sottogruppi nilpotenti, non risolubile di ordine minimo. Si suppone, inoltre, che gli ordini di A e B siano coprimi.
Si fa vedere che, in questo caso, G è un gruppo semplice. Per il teorema di Burnside, né l'ordine di A né l'ordine di B può essere una potenza di un numero primo.
L'enunciato del lemma con cui ho avuto difficoltà è il seguente:
Siano [tex]$P_1,\dots P_s$[/tex] e [tex]$Q_1,\dots Q_t$[/tex] i [tex]$p_i$[/tex] e [tex]$q_j$[/tex] sottogruppi di Sylow di A e B rispettivamente, con [tex]$s,t \geq 2$[/tex]. Se [tex]A_0[/tex] e [tex]$B_o$[/tex] sono sottogruppi normali di A e B rispettivamente, tali che [tex]$H=\langle A_0,B_0\rangle$[/tex] sia un sottogruppo proprio di G non identico, esiste un sottogruppo normale non identico N di H tale che N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex] o in [tex]$Q_j$[/tex].
Si dimostra che i sottogruppi [tex]$\overline{P_i}=P_i\cap N_G(H)$[/tex] e [tex]$\overline{Q_j}=Q_j\cap N_G(H)$[/tex] sono [tex]$p_i$[/tex] e [tex]$q_j$[/tex] sottogruppi di [tex]$N_G(H)$[/tex]. Poiché [tex]$N_G(H)$[/tex] è un sottogruppo proprio di G, è risolubile. Inoltre i sottogruppi [tex]$\overline{P_i}$[/tex] [tex]$\overline{Q_j}$[/tex] permutano e [tex]$\overline{P_iQ_j}$[/tex] contiene H. In ultimo, l'ordine di un sottogruppo normale minimale N di H o è una potenza di [tex]$p_i$[/tex] o di [tex]$q_j$[/tex]. Da ciò segue che N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex] o in [tex]$Q_j$[/tex]
Il mio problema sta proprio in quest'ultima affermazione. Non riesco proprio a far vedere che, ad esempio, se N ha per ordine una potenza di [tex]$p_i$[/tex], N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex]. Ho immaginato di dover far vedere che N è un [tex]$p_i$[/tex] sottogruppo di A e, di conseguenza, essendo [tex]$P_i$[/tex] il [tex]$p_i$[/tex]-sottogruppo di Sylow di A, si ha l'asserto. Ma anche con questo ho avuto problemi. Non so veramente cosa fare.
La dimostrazione del teorema la sto studiando dal libro "Products of Groups" di "Amberg, Franciosi, De Giovanni".
Ringrazio infinitamente chiunque voglia aiutarmi.
Innanzitutto si suppone che il teorema sia falso e si considera il gruppo G, prodotto di due sottogruppi nilpotenti, non risolubile di ordine minimo. Si suppone, inoltre, che gli ordini di A e B siano coprimi.
Si fa vedere che, in questo caso, G è un gruppo semplice. Per il teorema di Burnside, né l'ordine di A né l'ordine di B può essere una potenza di un numero primo.
L'enunciato del lemma con cui ho avuto difficoltà è il seguente:
Siano [tex]$P_1,\dots P_s$[/tex] e [tex]$Q_1,\dots Q_t$[/tex] i [tex]$p_i$[/tex] e [tex]$q_j$[/tex] sottogruppi di Sylow di A e B rispettivamente, con [tex]$s,t \geq 2$[/tex]. Se [tex]A_0[/tex] e [tex]$B_o$[/tex] sono sottogruppi normali di A e B rispettivamente, tali che [tex]$H=\langle A_0,B_0\rangle$[/tex] sia un sottogruppo proprio di G non identico, esiste un sottogruppo normale non identico N di H tale che N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex] o in [tex]$Q_j$[/tex].
Si dimostra che i sottogruppi [tex]$\overline{P_i}=P_i\cap N_G(H)$[/tex] e [tex]$\overline{Q_j}=Q_j\cap N_G(H)$[/tex] sono [tex]$p_i$[/tex] e [tex]$q_j$[/tex] sottogruppi di [tex]$N_G(H)$[/tex]. Poiché [tex]$N_G(H)$[/tex] è un sottogruppo proprio di G, è risolubile. Inoltre i sottogruppi [tex]$\overline{P_i}$[/tex] [tex]$\overline{Q_j}$[/tex] permutano e [tex]$\overline{P_iQ_j}$[/tex] contiene H. In ultimo, l'ordine di un sottogruppo normale minimale N di H o è una potenza di [tex]$p_i$[/tex] o di [tex]$q_j$[/tex]. Da ciò segue che N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex] o in [tex]$Q_j$[/tex]
Il mio problema sta proprio in quest'ultima affermazione. Non riesco proprio a far vedere che, ad esempio, se N ha per ordine una potenza di [tex]$p_i$[/tex], N è contenuto in [tex]$P_i$[/tex]. Ho immaginato di dover far vedere che N è un [tex]$p_i$[/tex] sottogruppo di A e, di conseguenza, essendo [tex]$P_i$[/tex] il [tex]$p_i$[/tex]-sottogruppo di Sylow di A, si ha l'asserto. Ma anche con questo ho avuto problemi. Non so veramente cosa fare.
La dimostrazione del teorema la sto studiando dal libro "Products of Groups" di "Amberg, Franciosi, De Giovanni".
Ringrazio infinitamente chiunque voglia aiutarmi.
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