Teorema di hall
qualcuno sa dirmi dove posso trovare una dimostrazione
rigorosa del teorema di Hall per i gruppi risolubili?
grazie mille per l'aiuto....
rigorosa del teorema di Hall per i gruppi risolubili?
grazie mille per l'aiuto....
Risposte
Ti riporto la dimostrazione qui sotto. Se conosci un po' la struttura dei sottogruppi normali minimali e il teorema di Schur-Zassenhaus ti dovrebbe risultare chiara.
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Sia $\pi$ un insieme di numeri primi. Un numero $n$ si dice un $\pi$-numero se ogni divisore primo di $n$ appartiene a $\pi$. Indichiamo con $\pi'$ l'insieme dei primi fuori da $\pi$. Sia $G$ un gruppo finito. Un sottogruppo $H$ di $G$ si dice un $\pi$-sottogruppo di Hall (o $\pi$-Hall) se $|H|$ è un $\pi$-numero e $|G:H|$ è un $\pi'$-numero.
Osservazione: in generale non esistono $\pi$-sottogruppi di Hall. Per esempio siano $G=A_5$, $\pi=\{3,5\}$. Allora un $\pi$-Hall $H$ di $G$ se esistesse avrebbe ordine $15$, cioè indice $4$. Ma siccome $G$ e' semplice, $H_G=\{1\}$ e quindi [tex]G=G/H_G[/tex] si immergerebbe in $\Sym(\{Hg\ |\ g \in G\})=S_4$, assurdo dato che $|S_4|=24$.
Abbiamo invece un comportamento molto buono nel caso risolubile.
Teorema
Sia $G$ un gruppo risolubile finito, e sia $\pi$ un insieme di primi. Allora:
- $G$ contiene $\pi$-sottogruppi di Hall.
- Due qualsivoglia $\pi$-sottogruppi di Hall di $G$ sono coniugati.
Dimostrazione. Proviamo il primo punto per induzione sull'ordine di $G$. Sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora dato che $G$ è risolubile, $N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare per un opportuno primo $p$. Per ipotesi induttiva [tex]G/N[/tex] contiene un $\pi$-sottogruppo di Hall [tex]H/N[/tex]. Se $p \in \pi$ allora $H$ è un $\pi$-Hall di $G$; altrimenti $p \in \pi'$ e quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus $N$ ha un complemento in $H$, sia esso $K$. Allora $|G:K|=|G:H| \cdot |N|$ è un $\pi'$-numero, quindi $K$ è un $\pi$-Hall di $G$.
Proviamo anche il secondo punto per induzione sull'ordine di $G$. Siano $H,K$ due $\pi$-Hall di $G$, e sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora [tex]HN/N[/tex] e [tex]KN/N[/tex] sono $\pi$-Hall di [tex]G/N[/tex], quindi esiste $g \in G$ tale che [tex](HN/N)=(KN/N)^g[/tex], da cui $HN=(KN)^g$. Come prima, $N$ è un $p$-gruppo. Se $p \in \pi$ allora $HN=H$ e $KN=K$, quindi abbiamo finito. Se $p \in \pi'$ allora [tex]HN=K^gN[/tex] e $H,K^g$ sono complementi di $N$ in $HN$. Quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus, $H$ e $K^g$ sono coniugati, e quindi anche $H$ e $K$ lo sono.
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Sia $\pi$ un insieme di numeri primi. Un numero $n$ si dice un $\pi$-numero se ogni divisore primo di $n$ appartiene a $\pi$. Indichiamo con $\pi'$ l'insieme dei primi fuori da $\pi$. Sia $G$ un gruppo finito. Un sottogruppo $H$ di $G$ si dice un $\pi$-sottogruppo di Hall (o $\pi$-Hall) se $|H|$ è un $\pi$-numero e $|G:H|$ è un $\pi'$-numero.
Osservazione: in generale non esistono $\pi$-sottogruppi di Hall. Per esempio siano $G=A_5$, $\pi=\{3,5\}$. Allora un $\pi$-Hall $H$ di $G$ se esistesse avrebbe ordine $15$, cioè indice $4$. Ma siccome $G$ e' semplice, $H_G=\{1\}$ e quindi [tex]G=G/H_G[/tex] si immergerebbe in $\Sym(\{Hg\ |\ g \in G\})=S_4$, assurdo dato che $|S_4|=24$.
Abbiamo invece un comportamento molto buono nel caso risolubile.
Teorema
Sia $G$ un gruppo risolubile finito, e sia $\pi$ un insieme di primi. Allora:
- $G$ contiene $\pi$-sottogruppi di Hall.
- Due qualsivoglia $\pi$-sottogruppi di Hall di $G$ sono coniugati.
Dimostrazione. Proviamo il primo punto per induzione sull'ordine di $G$. Sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora dato che $G$ è risolubile, $N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare per un opportuno primo $p$. Per ipotesi induttiva [tex]G/N[/tex] contiene un $\pi$-sottogruppo di Hall [tex]H/N[/tex]. Se $p \in \pi$ allora $H$ è un $\pi$-Hall di $G$; altrimenti $p \in \pi'$ e quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus $N$ ha un complemento in $H$, sia esso $K$. Allora $|G:K|=|G:H| \cdot |N|$ è un $\pi'$-numero, quindi $K$ è un $\pi$-Hall di $G$.
Proviamo anche il secondo punto per induzione sull'ordine di $G$. Siano $H,K$ due $\pi$-Hall di $G$, e sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora [tex]HN/N[/tex] e [tex]KN/N[/tex] sono $\pi$-Hall di [tex]G/N[/tex], quindi esiste $g \in G$ tale che [tex](HN/N)=(KN/N)^g[/tex], da cui $HN=(KN)^g$. Come prima, $N$ è un $p$-gruppo. Se $p \in \pi$ allora $HN=H$ e $KN=K$, quindi abbiamo finito. Se $p \in \pi'$ allora [tex]HN=K^gN[/tex] e $H,K^g$ sono complementi di $N$ in $HN$. Quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus, $H$ e $K^g$ sono coniugati, e quindi anche $H$ e $K$ lo sono.
questa dimostrazione l'avevo già vista nelle tue dispense che hai lasciato in rete:)
il problema è che il mio prof l'ha fatta senza tener conto del teorema di Schur-Zassenhaus...
come posso fare????
il problema è che il mio prof l'ha fatta senza tener conto del teorema di Schur-Zassenhaus...
come posso fare????
Vuoi dire che non l'ha usato?
In questo caso non saprei come aiutarti, questa è l'unica dimostrazione che conosco.
Puoi provare a scriverla qui evidenziando i passaggi che non riesci a capire.
In questo caso non saprei come aiutarti, questa è l'unica dimostrazione che conosco.
Puoi provare a scriverla qui evidenziando i passaggi che non riesci a capire.
si esatto....l'ha fatto dopo il teorema di schur-zassenhaus...
ok ok...ora con calma li scrivo...
grazie mille!!!!
ok ok...ora con calma li scrivo...
grazie mille!!!!
Cito solamente, nel caso in cui potesse interessare, il libro su cui sto impazzendo da un mesetto, ovvero (manco a dirlo) il Robinson, A course in the theory of groups, Springer, collana Graduate Texts in Mathematics.
Robinson deriva il teorema come caso particolare di un teorema analogo sui gruppi $\pi$-separabili... solo che quasi alla fine della dimostrazione anche lui usa il teorema di Schur-Zassenhaus! Mi pare improbabile che si possa evitare di usarlo (ma è solo un parere mio, cioè di un ignorante... quindi tutto può essere).
Robinson deriva il teorema come caso particolare di un teorema analogo sui gruppi $\pi$-separabili... solo che quasi alla fine della dimostrazione anche lui usa il teorema di Schur-Zassenhaus! Mi pare improbabile che si possa evitare di usarlo (ma è solo un parere mio, cioè di un ignorante... quindi tutto può essere).
Aggiorno il topic.
Qui a L'Aquila, qualche giorno fa, abbiamo dimostrato il teorema di Hall senza far uso di Schur-Zassenhaus, usando solamente la teoria di Sylow, la teoria di base dei gruppi risolubili e l'argomento di Frattini.
La dimostrazione è tratta dal libro "Gruppi" di Antonio Machì, pagina 236 dell'edizione italiana del 2007.
Nel caso qualcuno se lo stia chiedendo questo libro è facilmente "reperibile".
Un elemento chiave usato nella dimostrazione è questo.
La dimostrazione procede per casi (se $p$ divide o meno la cardinalità del sottogruppo che si vuole trovare) ed è anche piuttosto lunga.
Dubito che steven86 sia ancora "sintonizzato" su questo topic però, forse, qualcuno potrebbe incappare in questo topic dal compendio di Martino.
Qui a L'Aquila, qualche giorno fa, abbiamo dimostrato il teorema di Hall senza far uso di Schur-Zassenhaus, usando solamente la teoria di Sylow, la teoria di base dei gruppi risolubili e l'argomento di Frattini.
La dimostrazione è tratta dal libro "Gruppi" di Antonio Machì, pagina 236 dell'edizione italiana del 2007.
Nel caso qualcuno se lo stia chiedendo questo libro è facilmente "reperibile".
Un elemento chiave usato nella dimostrazione è questo.
Sia $G$ un gruppo risolubile finito e sia $N$ un suo sottogruppo normale minimale. Allora $G$ è un $p$-gruppo abeliano elementare, cioè un $p$-gruppo abeliano nel quale tutti gli elementi hanno ordine $p$.
La dimostrazione procede per casi (se $p$ divide o meno la cardinalità del sottogruppo che si vuole trovare) ed è anche piuttosto lunga.
Dubito che steven86 sia ancora "sintonizzato" su questo topic però, forse, qualcuno potrebbe incappare in questo topic dal compendio di Martino.
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