Teorema di Gödel e Geometria euclidea
Buongiorno
Sono un nuovo iscritto nel forum. Ho deciso di iscrivermi per avere una delucidazione riguardante il tema oggetto di questo thread.
Sto leggendo il libro di Douglas Hofstadter intitolato "Gödel, Escher, Bach: un'eterna Ghirlanda Brillante" e ho un dubbio riguardante il teorema di incompletezza del sistema assiomatico dimostrato a inizio novecento da Gödel rispetto in rapporto alla geometria euclidea.
Premetto che le mie conoscenze di matamatica sono alquanto limitate ed esclusivamente retaggio degli studi fatti durante gli anni di liceo scientifico.
Il dubbio riguarda il concetto di sistema assiomatico "abbastanza potente". Secondo quando c'è scritto nel libro cito testualmente
"se è data una formalizzazione abbastanza potente dell'aritmetica, ad essa si può applicare il metodo di Gödel e quindi il sistema è incompleto. Se d'altra parte il sistema non è abbastanza potente, allora proprio in vertù di questo suo difetto il sistema è incompleto" (pag. 440)
Le domande che vorrei porvi sono le due seguenti:
1) visto che la geometria euclidea è un sistema assimatico fondato su 5 assiomi-postulati fondamentali, significa che anch'essa è un sistema incompleto, ovvero che al suo interno si possano trovare o teoremi mutualmente contrastanti tra loro, o teoriemi veri che non discendono da tali 5 postulati iniziali? Se è così qualcuno sa forniremente un esempio?
2) La geometria Euclidea è da considerare dal punto di vista del teorema di Gödel un sistema assiomatico "abbastanza potente" o no? E come si fa a discriminare se un sistema assiomatico sia "abbastanza potente" o meno?
Ringrazio in anticipo chi mi aiutera a comprendere un pò meglio questo affasciante teorema della logica.
Sono un nuovo iscritto nel forum. Ho deciso di iscrivermi per avere una delucidazione riguardante il tema oggetto di questo thread.
Sto leggendo il libro di Douglas Hofstadter intitolato "Gödel, Escher, Bach: un'eterna Ghirlanda Brillante" e ho un dubbio riguardante il teorema di incompletezza del sistema assiomatico dimostrato a inizio novecento da Gödel rispetto in rapporto alla geometria euclidea.
Premetto che le mie conoscenze di matamatica sono alquanto limitate ed esclusivamente retaggio degli studi fatti durante gli anni di liceo scientifico.
Il dubbio riguarda il concetto di sistema assiomatico "abbastanza potente". Secondo quando c'è scritto nel libro cito testualmente
"se è data una formalizzazione abbastanza potente dell'aritmetica, ad essa si può applicare il metodo di Gödel e quindi il sistema è incompleto. Se d'altra parte il sistema non è abbastanza potente, allora proprio in vertù di questo suo difetto il sistema è incompleto" (pag. 440)
Le domande che vorrei porvi sono le due seguenti:
1) visto che la geometria euclidea è un sistema assimatico fondato su 5 assiomi-postulati fondamentali, significa che anch'essa è un sistema incompleto, ovvero che al suo interno si possano trovare o teoremi mutualmente contrastanti tra loro, o teoriemi veri che non discendono da tali 5 postulati iniziali? Se è così qualcuno sa forniremente un esempio?
2) La geometria Euclidea è da considerare dal punto di vista del teorema di Gödel un sistema assiomatico "abbastanza potente" o no? E come si fa a discriminare se un sistema assiomatico sia "abbastanza potente" o meno?
Ringrazio in anticipo chi mi aiutera a comprendere un pò meglio questo affasciante teorema della logica.
Risposte
No, la geometria euclidea (dovremmo un attimo intenderci su "quale", cioè su come è formalizzata: presa com'è, non è un sistema formale, ci è voluto Tarski per renderla tale) notoriamente non soddisfa le ipotesi del teorema di incompletezza.
La formalizzazione di Tarski dimostra che la geometria euclidea è equivalente alla teoria dei campi reali chiusi; siccome la seconda è completa, consistente, e ha un insieme ricorsivamente enumerabile di assiomi, tanto deve avere anche la prima.
La formalizzazione di Tarski dimostra che la geometria euclidea è equivalente alla teoria dei campi reali chiusi; siccome la seconda è completa, consistente, e ha un insieme ricorsivamente enumerabile di assiomi, tanto deve avere anche la prima.
Grazie per la risposta.
Come scritto purtroppo le mie conoscenze in questo campo sono molto limitate e quindi voleve avere se possibile un paio di precisazioni.
Lei ha scritto che la geometria non è un sistema formale: qual'è la differenza tra un sistema formale e uno non formale? Leggendo il libro (probabilmente in modo errato) mi ero fatto l'idea che ogni sistema che parta da degli assiomi/postulati come la geometria Euclidea e da qui costruisca dei teoremi, fosse un sistema assiomatico e quindi soggetto alla teoria di incompletezza. Da cosa ho intuito dalla sua risposta così non è.
La seconda precisazione riguarda la teoria dei campi chiusi reali di cui da quello che ho compreso la geometria Euclidea è una specie di caso particolare. Questa teoria avendo un insieme enumerabile di assiomi si può considerare un sistema assiomatico abbastanza potente e quindi soggetto al teorema di incompletezza?
Grazie
Come scritto purtroppo le mie conoscenze in questo campo sono molto limitate e quindi voleve avere se possibile un paio di precisazioni.
Lei ha scritto che la geometria non è un sistema formale: qual'è la differenza tra un sistema formale e uno non formale? Leggendo il libro (probabilmente in modo errato) mi ero fatto l'idea che ogni sistema che parta da degli assiomi/postulati come la geometria Euclidea e da qui costruisca dei teoremi, fosse un sistema assiomatico e quindi soggetto alla teoria di incompletezza. Da cosa ho intuito dalla sua risposta così non è.
La seconda precisazione riguarda la teoria dei campi chiusi reali di cui da quello che ho compreso la geometria Euclidea è una specie di caso particolare. Questa teoria avendo un insieme enumerabile di assiomi si può considerare un sistema assiomatico abbastanza potente e quindi soggetto al teorema di incompletezza?
Grazie
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