Teorema di fattorizzazione per i gruppi e AC
\(\newcommand{\normal}{ \mathrel{ \underset{{=}}{\lhd} } }\)\( \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \)Ciao. Ho una domanda sul teorema di fattorizzazione per i gruppi (mi è venuta da un esercizio di algebra lineare, ma credo che riportare i dettagli sia pressoché inutile, quindi non do contesto).
Serve l'assioma della scelta, nel teorema di fattorizzazione per i gruppi?
Espandendo un attimo: dimostrare che esiste un'unica \( \psi \) tale che, dati due gruppi \( G \), \( H \), un sottogruppo normale \( N\normal G \) e un omomorfismo \( \varphi\colon G\to H\) il cui nucleo \( \Ker\varphi \) contiene \( N \), il seguente diagramma
commuti (\( \pi \) è ovviamente la proiezione canonica), almeno da quanto mi sembra, è pressoché banale: basta, individuata una funzione di scelta \( c \) dalla partizione delle fibre di \( \pi \) su \( G \), comporre
\[
\psi=\varphi\circ c\circ{\left(\pi^{{*}}{\restriction_{G/N}}\right)}
\] La conclusione deriva dal fatto che è assunto \( N\subset\Ker\varphi \), ché se \( xN=yN \) allora \( xy^-1 \) sta in \( \Ker\varphi \).
Quindi, la mia domanda è, riformulando ancora: "In alcune dimostrazioni di questo risultato si costruisce \( \psi \) usando la definizione di funzione in teoria degli insiemi ("Una funzione è una relazione che ecc."). Questa bruttura evita AC?". Secondo me la risposta è negativa, avendone lette un paio, che tuttavia non menzionano l'uso dell'assioma della scelta, in questa mezz'ora.
Un risultato simile vale ovviamente per gli insiemi, e lì son sicuro di aver visto da qualche parte un richiamo ad \( \mathsf{AC} \), ma era un po' di tempo fa.
Serve l'assioma della scelta, nel teorema di fattorizzazione per i gruppi?
Espandendo un attimo: dimostrare che esiste un'unica \( \psi \) tale che, dati due gruppi \( G \), \( H \), un sottogruppo normale \( N\normal G \) e un omomorfismo \( \varphi\colon G\to H\) il cui nucleo \( \Ker\varphi \) contiene \( N \), il seguente diagramma
[tex]\xymatrix{G \ar[r]^{\pi} \ar[dr]_{\varphi} & G/N \ar@{-->}[d]^{\psi} \\ & H}[/tex]
commuti (\( \pi \) è ovviamente la proiezione canonica), almeno da quanto mi sembra, è pressoché banale: basta, individuata una funzione di scelta \( c \) dalla partizione delle fibre di \( \pi \) su \( G \), comporre
\[
\psi=\varphi\circ c\circ{\left(\pi^{{*}}{\restriction_{G/N}}\right)}
\] La conclusione deriva dal fatto che è assunto \( N\subset\Ker\varphi \), ché se \( xN=yN \) allora \( xy^-1 \) sta in \( \Ker\varphi \).
Quindi, la mia domanda è, riformulando ancora: "In alcune dimostrazioni di questo risultato si costruisce \( \psi \) usando la definizione di funzione in teoria degli insiemi ("Una funzione è una relazione che ecc."). Questa bruttura evita AC?". Secondo me la risposta è negativa, avendone lette un paio, che tuttavia non menzionano l'uso dell'assioma della scelta, in questa mezz'ora.
Un risultato simile vale ovviamente per gli insiemi, e lì son sicuro di aver visto da qualche parte un richiamo ad \( \mathsf{AC} \), ma era un po' di tempo fa.
Risposte
Ho sbagliato sezione :c
L'assioma della scelta è necessario per scegliere un trasversale \(T_R\) della partizione determinata dalla relazione di equivalenza di un quoziente. Quindi l'assioma della scelta è necessario per presentare un quoziente \(X/R\) (\(R \subseteq X\times X\) una relazione di equivalenza su un insieme \(X\)) come
\[
X/R = \{[x]\mid x\in T_R(X)\}
\] se $T_R(X)$ è il trasversale suddetto.
\[
X/R = \{[x]\mid x\in T_R(X)\}
\] se $T_R(X)$ è il trasversale suddetto.
Ok. Ti ringrazio.
Ma, allora, qual è il motivo per costruire \( \psi \) lavorando direttamente con le coppie (se appunto prendere un trasversale o prendere una funzione di scelta è la stessa cosa)? Cioè perché tante persone dimostrano così questo risultato?
Ma, allora, qual è il motivo per costruire \( \psi \) lavorando direttamente con le coppie (se appunto prendere un trasversale o prendere una funzione di scelta è la stessa cosa)? Cioè perché tante persone dimostrano così questo risultato?
Non è una "bruttura" come tu la chiami, è solo che ignori una di queste forme equivalenti all'assioma della scelta: click!. Quale?
Credo che tu intenda il "ogni funzione suriettiva ha un'inversa destra". In questo caso la dimostrazione è ancora meno oscura, rispetto al lavoro sulle coppie \( (x,y)\in\psi \): se \( \psi \) fa commutare
dove \( \nu \) è un inversa destra di \( \pi \), tenendo presente che \( \varphi \) assume un'unica immagine sulle fibre della proiezione canonica, sarà \( \psi\circ\pi=\varphi\circ(\nu\circ\pi)=\varphi \). \( \square \)
[tex]\xymatrix{G/N\ar[r]^{\nu}\ar@{-->}[d]_{\psi}&G\ar[dl]^{\varphi}\\H}[/tex]
dove \( \nu \) è un inversa destra di \( \pi \), tenendo presente che \( \varphi \) assume un'unica immagine sulle fibre della proiezione canonica, sarà \( \psi\circ\pi=\varphi\circ(\nu\circ\pi)=\varphi \). \( \square \)
No, il prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi non vuoti è non vuoto. Adesso rifletti.
"marco2132k":
Credo che tu intenda il "ogni funzione suriettiva ha un'inversa destra". In questo caso la dimostrazione è ancora meno oscura, rispetto al lavoro sulle coppie \( (x,y)\in\psi \): se \( \psi \) fa commutare
[tex]\xymatrix{G/N\ar[r]^{\nu}\ar@{-->}[d]_{\psi}&G\ar[dl]^{\varphi}\\H}[/tex]
dove \( \nu \) è un inversa destra di \( \pi \), tenendo presente che \( \varphi \) assume un'unica immagine sulle fibre della proiezione canonica, sarà \( \psi\circ\pi=\varphi\circ(\nu\circ\pi)=\varphi \). \( \square \)
Non c'è alcuna ragione per cui \(\nu\) esista, pensa al motivo.
@Indrjo Dedej Appena ho un attimo di tempo rivedo meglio la costruzione con le coppie.
@caulacau Se la proiezione canonica è suriettiva (e lo è), perché non dovrebbe avere un inversa destra? Sì, beh, non assumendo choice potrebbe non averla, ma mi sembra che entrambi abbiate risposto affermativamente alla mia domanda ("Serve scelta per fattorizzare attraverso la proiezione al quoziente?").
@caulacau Se la proiezione canonica è suriettiva (e lo è), perché non dovrebbe avere un inversa destra? Sì, beh, non assumendo choice potrebbe non averla, ma mi sembra che entrambi abbiate risposto affermativamente alla mia domanda ("Serve scelta per fattorizzare attraverso la proiezione al quoziente?").
"marco2132k":Sì, e per di più io ti sto dicendo che anche nella dimostrazione con le coppie si fa uso di AC, o meglio della forma equivalente che ti ho citato.
mi sembra che entrambi abbiate risposto affermativamente alla mia domanda ("Serve scelta per fattorizzare attraverso la proiezione al quoziente?").
[ot]Attenzione: quello che scoprirai è un segreto per pochi...
Scherzo, ovviamente. Voglio dire che per questo teorema si fa di tutto per nascondere certe cose, non per cattiveria, ma perché certi temi non sono facilmente affrontabili al momento dell'incontro con questo teorema.[/ot]
"marco2132k":
@caulacau Se la proiezione canonica è suriettiva (e lo è), perché non dovrebbe avere un inversa destra?
Qual è l'inversa destra di \(\mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z\)?
Se non sto prendendo un abbaglio, questa. Per la famiglia \( \left(\pi^{*}(N)\right)_{N\in{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}} \) indicizzata da \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) esiste una funzione \( c\colon\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\bigcup\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z} \) di scelta (nessun insieme della famiglia è vuoto). L'immagine di una classe di resto \( N \) appartiene quindi alla fibra \( \pi^{*}(N) \): in altre parole, componendo a destra è \( (\pi\circ c)(N)=\pi(\text{un elemento di \( \pi^{*}(N) \)})=N \).
Puoi trovare un'inversa che sia una funzione, ma non puoi trovarne che siano omomorfismi di gruppo diversi da quello nullo.
Also, cosa significa \(\bigcup \mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z\)? Dove è indicizzata l'unione e in che senso questa unione "fa Z"?
Also, cosa significa \(\bigcup \mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z\)? Dove è indicizzata l'unione e in che senso questa unione "fa Z"?
"caulacau":L'idea era di scrivere \( \bigcup_{N\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\pi^{*}(N) \), hai ragione. Che fa \( \mathbb{Z} \).
Also, cosa significa \( \bigcup \mathbb Z/n\mathbb Z = \mathbb Z \)? Dove è indicizzata l'unione e in che senso questa unione "fa Z"?
In effetti ho usato a sproposito la parola "commutare", nel post che mi hai citato. Non mi è necessario trovare un omomorfismo \( G/N\to G \) (con i simboli di op): basta che \( \psi \) lo sia.
"caulacau":Non ci avevo fatto caso, a dire il vero.
non puoi trovar[e omomorfismi \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \)] che siano omomorfismi di gruppo diversi da quello nullo.
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