Teorema di divisione euclidea
Teorema di divisione euclidea.
Non scrivo la proposizione…..
Devo dimostrare l’esistenza di $q$ e $r$ $in ZZ$
Supponiamo che $b>0$
Consideriamo l’insieme $X=(a-bx >=0: x in ZZ)$
Questo insieme è non vuoto. Infatti se $a>=0$, allora $0<=a=a-b0 in X$. Altrimenti, essendo $b>=1$, si ha $0<=(1-b)a=a-ba in X$
Non capisco cosa si intende per: $ 0<=a=a-b0 $
Altro dubbio: come si arriva a: essendo $b>=1$, si ha $0<=(1-b)a=a-ba in X$
Si possono fare degli esempi con dei numeri?
Non scrivo la proposizione…..
Devo dimostrare l’esistenza di $q$ e $r$ $in ZZ$
Supponiamo che $b>0$
Consideriamo l’insieme $X=(a-bx >=0: x in ZZ)$
Questo insieme è non vuoto. Infatti se $a>=0$, allora $0<=a=a-b0 in X$. Altrimenti, essendo $b>=1$, si ha $0<=(1-b)a=a-ba in X$
Non capisco cosa si intende per: $ 0<=a=a-b0 $
Altro dubbio: come si arriva a: essendo $b>=1$, si ha $0<=(1-b)a=a-ba in X$
Si possono fare degli esempi con dei numeri?
Risposte
Poiché [tex]a\geqslant0[/tex] si ha che [tex]0\leqslant a[/tex], ma [tex]a=a-0[/tex] ed essendo sicuramente [tex]b\cdot 0=0[/tex] si ha [tex]a=a-0=a-b\cdot0[/tex], sicché [tex]0\leqslant a-b\cdot0[/tex]: allora l'intero [tex]a-b\cdot0[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] essendo non negativo e della forma [tex]a-bx[/tex] con [tex]x=0[/tex].
Inizialmente si è supposto che [tex]b>0[/tex]: allora [tex]b\geqslant1[/tex] e di conseguenza [tex]1-b\leqslant0[/tex]; se si sceglie allora [tex]a<0[/tex], si cha che [tex](1-b)a[/tex] è positivo o nullo, i.e. [tex](1-b)a\geqslant0[/tex].
Prendiamo [tex]a=3[/tex]: allora per [tex]x=0[/tex], l'intero [tex]3-b\cdot0=3[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] qualunque sia [tex]b>0[/tex]; se invece [tex]x=1[/tex], allora [tex]3-b\cdot1=3-b[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] per [tex]b=1,2,3[/tex].
Prendiamo [tex]a=-3[/tex]: allora [tex]-3+3b[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] qualunque sia [tex]b\geqslant1[/tex].
In ultima analisi, [tex]X \neq \varnothing[/tex]
Inizialmente si è supposto che [tex]b>0[/tex]: allora [tex]b\geqslant1[/tex] e di conseguenza [tex]1-b\leqslant0[/tex]; se si sceglie allora [tex]a<0[/tex], si cha che [tex](1-b)a[/tex] è positivo o nullo, i.e. [tex](1-b)a\geqslant0[/tex].
Prendiamo [tex]a=3[/tex]: allora per [tex]x=0[/tex], l'intero [tex]3-b\cdot0=3[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] qualunque sia [tex]b>0[/tex]; se invece [tex]x=1[/tex], allora [tex]3-b\cdot1=3-b[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] per [tex]b=1,2,3[/tex].
Prendiamo [tex]a=-3[/tex]: allora [tex]-3+3b[/tex] è un elemento di [tex]X[/tex] qualunque sia [tex]b\geqslant1[/tex].
In ultima analisi, [tex]X \neq \varnothing[/tex]
Provo a fissare le idee: tra gli elementi dell’insieme $X$ dati dalla forma: $a - bx $ si trova un elemento $in NN$
Infatti con valori di $a in NN$ e $x=0$ avremmo:
se $a=0$ e $x=0$ io avrei $a-bx=0$ per qualsiasi valore di $b$.
se $a=3$ e $x=0$ io avrei $a-bx=3$ per qualsiasi valore di $b$.
Poi potremmo avere:
se $a=-3$ , $x=a=-3$ e $b < 0=$ si arriva ancora a $-3-b(-3)=-3+3b$ per qualsiasi valore negativo di $b$.
Ancora con $ a < 0=-3$ , $x=| -a| $ e con $b>=1$ si arriva $-3-(-b)|- a|$ =$-3+b|- 3|$ che appartiene ancora all’insieme $X$
Infatti con valori di $a in NN$ e $x=0$ avremmo:
se $a=0$ e $x=0$ io avrei $a-bx=0$ per qualsiasi valore di $b$.
se $a=3$ e $x=0$ io avrei $a-bx=3$ per qualsiasi valore di $b$.
Poi potremmo avere:
se $a=-3$ , $x=a=-3$ e $b < 0=$ si arriva ancora a $-3-b(-3)=-3+3b$ per qualsiasi valore negativo di $b$.
Ancora con $ a < 0=-3$ , $x=| -a| $ e con $b>=1$ si arriva $-3-(-b)|- a|$ =$-3+b|- 3|$ che appartiene ancora all’insieme $X$
@marcus: Alla fine del tuo post c'è un tag tex vuoto; toglilo altrimenti il parser lo interpreta lasciando un immenso spazio vuoto che disturba la lettura. Grazie.
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