Teorema di Dirichlet

[Euphurio]

Buongiorno a tutti...ho bisogno di una bella chiacchierata con voi amici. Leggo svariate volte il vostro forum ma non vi ho mai partecipato attivamente.
Stavo leggendo la dimostrazione del teorema di Dirichlet contenuta in "Dimostrazione di un teorema sulle progressioni aritmetiche" (1837) e non riesco a capire completamente un passaggio. Per completezza riporto l'enunciato e la prima parte della dimostrazione del teorema.

TEOREMA
Ogni progressione aritmetica, in cui il primo termine e le differenze non hanno fattori comuni, contiene infiniti numeri primi.

Sostanzialmente questo vuol dire che se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] non hanno fattori comuni allora esistono infiniti primi della forma [tex]an+b[/tex]
Sono interessato al caso [tex]a=4[/tex] e [tex]b=\pm1[/tex].

dimostrazione
Al gruppo moltiplicativo degli interi che hanno inverso modulo 4 sono associati i caratteri
[tex]\chi_{+}(n)=
\begin{cases}
1, & \text{se $n=4k\pm1$,} \\
0, & \text{altrimenti.}
\end{cases}[/tex]
[tex]\chi_{-}(n)=
\begin{cases}
\pm1, & \text{se $n=4k\pm1$,} \\
0, & \text{altrimenti.}
\end{cases}[/tex]
A questi caratteri sono associate delle serie di Dirichlet e dei prodotti di Eulero:
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \chi_{\pm}(n) n^{-z}[/tex]
[tex]=\sum_{p,q,r,\dots primi, a, b,c,\dots interi}\chi_{\pm}(p^a q^b r^c\dots)(p^a q^b r^c\dots)^{-z}[/tex]
[tex]=\prod_{p~primo}(1+\chi_{\pm}(p) p^{-z}+ \chi_{\pm}(p)^2 p^{-2z}+\dots)[/tex]
[tex]=\prod_{p~primo}(1-\chi_{\pm}(p) p^{-z}+\dots)^{-1}[/tex]

Bene il problema è che non riesco a capire le motivazioni che rendono valida la seconda uguaglianza.
Ringrazio chiunque mi dia lumi. Saluti

[gugo82]

[mod="gugo82"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.

Più attenzione a dove posti la prossima volta.[/mod]

[Euphurio]

chiedo scusa....ho postato la discussione in analisi per errore...ero convinto di aver scritto in teoria dei numeri...grazie per aver spostato la discussione...
Saluti