Teorema di Cayley
Il teorema dice che un qualsiasi gruppo è isomorfo ad un gruppo di trasformazioni che a sua volta è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo di permutazioni. Cioè i gruppi di permutazioni esauriscono tutte le proprietà della teoria dei gruppi. Questo sembra molto interessante, ma poi si studiano sempre gruppi generici e raramente (almeno per quanto ne ho visto fin ora) si passa a studiare il chiamiamolo sottogruppo di permutazioni associato.
Mi ricorda un pò l'algebra lineare il teorema di Cayley perchè si ha che uno spazio vettoriale è isomorfo ad uno spazio del tipo \(\displaystyle K^n \) però nel caso dell'algebra lineare se ne fa largo uso di questa proprietà, perchè nella teoria dei gruppi questo è marginale? (ed anche in contrasto con il fatto che il teorema di Cayley lo si trova in ogni dispensa di algebra)
Mi ricorda un pò l'algebra lineare il teorema di Cayley perchè si ha che uno spazio vettoriale è isomorfo ad uno spazio del tipo \(\displaystyle K^n \) però nel caso dell'algebra lineare se ne fa largo uso di questa proprietà, perchè nella teoria dei gruppi questo è marginale? (ed anche in contrasto con il fatto che il teorema di Cayley lo si trova in ogni dispensa di algebra)
Risposte
Hai dimenticato di dire "di dimensione finita"; un motivo per cui non si usa il teorema di Cayley nella pratica è che il gruppo dentro cui trovi una copia di $G$ spesso è molto grosso. Un altro motivo è che individuare il sottogruppo a cui $G$ è isomorfo dentro Aut(G) può essere difficile, perché ne hai una descrizione piuttosto tautologica.
Si in effetti, comunque non mi spiego perchè lo si trova in ogni corso, voglio dire si è interessante saperlo però non ha applicazioni.
Il teorema di Cayley è solo un esempio; la matematica è piena di teoremi del tipo: "ogni struttura di tipo X è isomorfa ad una sottostruttura di Y". Per esempio, ogni varietà differenziabile è [isomorfo a] una sottovarietà di $\mathbb R^n$, e ogni spazio metrico è un sottospazio di uno spazio di Banach. Il problema è che questi risultati sono interessanti da un punto di vista filosofico, ma molto spesso non forniscono strumenti in più per affrontare le questioni importanti. Nella fattispecie, il teorema di Cayley dice che studiare i gruppi finiti è come studiare i sottogruppi dei gruppi di permutazione, ma questo non rende più semplice la prima cosa.
Grazie
Individuare una classe particolare di strutture tali che ogni struttura X sia isomorfa a una sottostruttura di Y non è un problema solamente filosofico, è solo che è molto difficile farlo in generale. Per esempio, ogni fascio è isomorfo a un fascio di sezioni; ma non è esattamente banale isolare la condizione di omeomorfismo locale che caratterizza gli spazi topologici sopra uno dato come quelli che sono étalé; oppure, ogni C*-algebra è una C*-algebra di operatori; ma non è banale capire che sono gli operatori limitati su uno spazio di Hilbert a "bastare" per ottenere tutte le C*-algebre. E così via, un altro problema è che ovviamente ci sarà una risposta che va bene per i fasci, una risposta che va bene per le C*-algebre, una per i gruppi...
Un bell'esempio è quel risultato che dice che ogni gruppo $G$ di ordine $2d$, con $d$ dispari, contiene un sottogruppo di ordine $d$. Tale sottogruppo di ordine $d$ è ottenuto intersecando $G$ col gruppo alterno di grado $2d$ (pensando a $G$ come sottogruppo del gruppo simmetrico di grado $|G|=2d$).
Un'altra variante sul tema è il fatto che ogni sottogruppo $H$, di un gruppo $G$, di indice finito $n$, contiene un sottogruppo $N$ che è normale in $G$ e ha indice finito in $G$, minore o uguale di $n!$. Si tratta del nucleo della rappresentazione permutazionale $G to S_n$ ottenuta agendo canonicamente sugli $n$ laterali di $H$. Questo non è propriamente il teorema di Cayley "classico", cioè anziché agire sugli elementi di $G$ stiamo agendo sulle classi laterali di un sottogruppo, ma l'idea è la stessa.
Quindi per esempio se $G$ è un gruppo semplice e contiene un sottogruppo di indice $n>1$ allora necessariamente $|G|<=n!$ (e anzi $|G|$ divide $n!$).
Un'altra variante sul tema è il fatto che ogni sottogruppo $H$, di un gruppo $G$, di indice finito $n$, contiene un sottogruppo $N$ che è normale in $G$ e ha indice finito in $G$, minore o uguale di $n!$. Si tratta del nucleo della rappresentazione permutazionale $G to S_n$ ottenuta agendo canonicamente sugli $n$ laterali di $H$. Questo non è propriamente il teorema di Cayley "classico", cioè anziché agire sugli elementi di $G$ stiamo agendo sulle classi laterali di un sottogruppo, ma l'idea è la stessa.
Quindi per esempio se $G$ è un gruppo semplice e contiene un sottogruppo di indice $n>1$ allora necessariamente $|G|<=n!$ (e anzi $|G|$ divide $n!$).
Quindi possiamo dire che non è solo di bella presenza il teorema, grazie.
Una conseguenza del teorema di Cayley è che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$, cosa tutt'altro che scontata per gli altri gruppi di ordine $n!$.
"luca69":
Una conseguenza del teorema di Cayley è che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$, cosa tutt'altro che scontata per gli altri gruppi di ordine $n!$.
$S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ perchè i cicli massimali hanno ordine $n$, che c’entra Cayley??
"hydro":
$S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ perchè i cicli massimali hanno ordine $n$, che c’entra Cayley??
Esistono gruppi di ogni ordine $n$, i quali -per Cayley- sono isomorfi ad un sottogruppo di $S_n$, che quindi ha sottogruppi di ordine $n$, per ogni $n$.
"luca69":
[quote="hydro"]
$S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ perchè i cicli massimali hanno ordine $n$, che c’entra Cayley??
Esistono gruppi di ogni ordine $n$, i quali -per Cayley- sono isomorfi ad un sottogruppo di $S_n$, che quindi ha sottogruppi di ordine $n$, per ogni $n$.[/quote]
Devi prima dimostrare che per ogni $n$ esiste un gruppo di ordine $n$, cosa che è vera solo perché esistono gruppi ciclici di qualsiasi ordine. Il che è essenzialmente equivalente a dimostrare che un ciclo massimale di $S_n$ ha ordine $n$. Quindi stai solo rendendo un po’ più complicato un fatto molto semplice.
"hydro":Ma questo è sufficiente.
cosa che è vera solo perché esistono gruppi ciclici di qualsiasi ordine.
"hydro":Certo, ma a me viene prima dire che esistono classi di resto modulo $n$, per ogni $n$.
Il che è essenzialmente equivalente a dimostrare che un ciclo massimale di $S_n$ ha ordine $n$.
"hydro":Questo è sempre possibile, ma a me sembra che l'esistenza di gruppi ciclici di ogni ordine (come sopra) e il teorema di Cayley diano gratis l'esistenza di sottogruppi di ordine $n$ in $S_n$, senza di fatto sapere nulla degli elementi di $S_n$ (permutazioni).
Quindi stai solo rendendo un po’ più complicato un fatto molto semplice.
"luca69":
Questo è sempre possibile, ma a me sembra che l'esistenza di gruppi ciclici di ogni ordine (come sopra) e il teorema di Cayley diano gratis l'esistenza di sottogruppi di ordine $n$ in $S_n$, senza di fatto sapere nulla degli elementi di $S_n$ (permutazioni).
Certo, così come il teorema spettrale reale ti dice gratis che gli endomorfismi di $\mathbb R$ sono diagonalizzabili, senza sapere neanche come sono fatti, e il teorema di Dirichlet ti dice che l'equazione $x^2-2y^2=1$ ha infinite soluzioni intere, senza neanche conoscerle. Ma sono overkill, e si tende ad evitare di pensare in questo modo in matematica...
Pensa che strano... io non so nulla dei "cicli massimali di $S_n$"... comunque ho capito, grazie.
si tende ad evitare di pensare in questo modo in matematicaDipende dal contesto. A me dissero, dodici anni fa, "benissimo l'astrazione, si esagera solo quando non si è in grado di mantenere lo stesso livello per tutta la conversazione".
"luca69":
Pensa che strano... io non so nulla dei "cicli massimali di $S_n$"
Beh se sai che cos'è $S_n$ sai di sicuro che contiene l'elemento $(1,2,\ldots,n)$...
"megas_archon":si tende ad evitare di pensare in questo modo in matematicaDipende dal contesto. A me dissero, dodici anni fa, "benissimo l'astrazione, si esagera solo quando non si è in grado di mantenere lo stesso livello per tutta la conversazione".
Sì il problema per me è sempre il solito: l'astrazione è ottima se e solo se fornisce delle informazioni non banali sul mondo reale. Penso che questo di luca69 sia un buon esempio. Si sa per vie traverse che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$, ma questa è una quantità di informazione molto limitata. Nel mondo reale io vorrei esibire un sottogruppo di ordine $n$, e questo si può fare rendendo effettiva la sua prova: esiste un gruppo $G_n$ di ordine $n$, quello ciclico, che per Cayley si immerge in $S_n$. Ma com'è fatta l'immersione? Se ci si pensa un secondo, è esattamente quella che manda un generatore di $G_n$ in un ciclo massimale. Ah ma allora non c'è nessun bisogno di usare Cayley, basta guardare i cicli massimali. Questo è un caso tipico in cui astrarre fornisce delle informazioni, ma sono banali. Bisogna istruire i giovani a discriminare tra la matematica seria e le truffe, perchè ci sono fior di esempi in cui la potenza dell'astrazione ha portato a risolvere problemi estremamente concreti che nessuno sapeva risolvere "con le mani", ma anche numerosi articoli che sono osservazioni più o meno banali farcite di tecnicismi e paroloni per farle sembrare grossi avanzamenti intellettuali.
Invece secondo me proprio questo è un pessimo esempio del tuo punto...
Invece istanziando il lemma di Yoneda puoi affrontare il problema in maniera completamente agnostica e evincere ciascuna delle cose che hai detto: il codominio dell'omomorfismo \(G \to \#\) non può che essere l'insieme degli automorfismi di G, perché guardando $G$ come una categoria $BG$ con un singolo oggetto \(*\) e \(|G|\) morfismi \(\{g : * \to *\mid g\in G\}\) la categoria dei funtori \(G \to {\sf Set}\) è esattamente la categoria, e questo omomorfismo deve per forza essere la moltiplicazione, perché è così che agiscono i rappresentabili \(g.\_ : G \to G\) sull'insieme dei morfismi di $BG$; il fatto che questa azione sia fedele segue certamente dalla cancellatività del gruppo, ma volendo farlo può essere visto come un corollario del teorema (prendendo come azione proprio la traslazione).
Come vedi, bisogna assumere di sapere molto poco per trovare che il teorema di Cayley "esiste in natura" in un'unica forma possibile.
Perciò,
Ritengo questo punto di vista strettamente più efficace a dare della matematica una idea corretta ai bambini: lungi dall'essere una pratica settaria dove le cose si mostrano per esperienza e "a sentimento" (come amava dire de Marco, "le derivate sono un algoritmo, ma integrare è un arte" -o forse era "maggiorare/minorare"?), è un ramo dello scibile dove da alcuni principi universali è possibile mostrare non solo che la tal tale proposizione è vera, ma -spesso- costruire un argomento che mostra la cogenza del suo essere vera. Questo è un guadagno netto rispetto all'"altro" punto di vista, sebbene nel campo meta-matematico -e ciò nonostante, ci tengo ad insistere nel farlo notare perché continua a riempirmi di stupore a distanza di tredici anni, completamente rigoroso nella forma.
Certo, bisogna esercitare non solo la proficiency nel linguaggio, ma anche l'abilità metalinguistica che insegna dove guardare per carpire la tale o talaltra informazione al contesto. Del resto, non è che siccome tu non sei capace di estrarre quell'informazione, l'informazione non è lì!
Poi, io ho degli esempi in cui pensare alle cose come categorie non è molto efficace. Sono solamente off topic per questa conversazione.
com'è fatta l'immersione?Il teorema di Cayley è esattamente il lemma di Yoneda per monoidi/gruppi: perciò ti dice come deve essere fatta l'immersione (può essere fatta in un unico modo se vuoi che l'immersione \(G\to Aut(G)\) soddisfi la giusta proprietà universale). Da questa proprietà universale puoi anche estrarre, ad esempio, l'informazione che l'insieme su cui il gruppo G che stai cercando di rappresentare agisce è G stesso (più precisamente, l'insieme dei suoi elementi): senza questo punto di vista superiore sei costretto a fare affermazioni fumose come "il gruppo G è l'unico insieme che ti viene dato dal problema" o cose del genere.
Invece istanziando il lemma di Yoneda puoi affrontare il problema in maniera completamente agnostica e evincere ciascuna delle cose che hai detto: il codominio dell'omomorfismo \(G \to \#\) non può che essere l'insieme degli automorfismi di G, perché guardando $G$ come una categoria $BG$ con un singolo oggetto \(*\) e \(|G|\) morfismi \(\{g : * \to *\mid g\in G\}\) la categoria dei funtori \(G \to {\sf Set}\) è esattamente la categoria, e questo omomorfismo deve per forza essere la moltiplicazione, perché è così che agiscono i rappresentabili \(g.\_ : G \to G\) sull'insieme dei morfismi di $BG$; il fatto che questa azione sia fedele segue certamente dalla cancellatività del gruppo, ma volendo farlo può essere visto come un corollario del teorema (prendendo come azione proprio la traslazione).
Come vedi, bisogna assumere di sapere molto poco per trovare che il teorema di Cayley "esiste in natura" in un'unica forma possibile.
Perciò,
astrarre fornisce delle informazioni, ma sono banalinon solo non sono banali, sono persino strettamente più precise di quelle che riesci a evincere "senza astrazione". E anche l'esempio come lo hai messo tu mi sembra spingere esattamente nella direzione opposta: un sottogruppo di ordine $n$ deve esistere come conseguenza di un principio generale; questo principio generale mi informa su come questo sottogruppo deve essere fatto, e ex post mi accorgo che alla fin fine era sufficiente guardare a un ciclo massimale. Quindi, se proprio vuoi, è solo usando il lemma di Yoneda che si rende evidente cosa cercare -e il motivo per cui quella è la risposta giusta, l'unica possibile-, per poi eventualmente rimuoverlo.
Ritengo questo punto di vista strettamente più efficace a dare della matematica una idea corretta ai bambini: lungi dall'essere una pratica settaria dove le cose si mostrano per esperienza e "a sentimento" (come amava dire de Marco, "le derivate sono un algoritmo, ma integrare è un arte" -o forse era "maggiorare/minorare"?), è un ramo dello scibile dove da alcuni principi universali è possibile mostrare non solo che la tal tale proposizione è vera, ma -spesso- costruire un argomento che mostra la cogenza del suo essere vera. Questo è un guadagno netto rispetto all'"altro" punto di vista, sebbene nel campo meta-matematico -e ciò nonostante, ci tengo ad insistere nel farlo notare perché continua a riempirmi di stupore a distanza di tredici anni, completamente rigoroso nella forma.
Certo, bisogna esercitare non solo la proficiency nel linguaggio, ma anche l'abilità metalinguistica che insegna dove guardare per carpire la tale o talaltra informazione al contesto. Del resto, non è che siccome tu non sei capace di estrarre quell'informazione, l'informazione non è lì!
Poi, io ho degli esempi in cui pensare alle cose come categorie non è molto efficace. Sono solamente off topic per questa conversazione.
@hydro, il tuo richiamo alla concretezza, agli oggetti "in carne ed ossa", è sacrosanto, e lungi da me disconoscerlo, anzi. Sarei solo un po' più aperto sulle possibili funzioni utili dell'astrazione:
Sono d'accordo sul "se", ho qualche dubbio sul "solo se": a mio avviso, essa è utile anche quando suggerisce delle domande con un qualche "potenziale conoscitivo", pur senza fornirne (ancora) una risposta. Ad esempio, dire che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ perché contiene l'$n$-ciclo \((12\dots n)\) è un fatto vero, chiaro, concreto, conclusivo, e (troppo?) "appagante". Tuttavia, è così "interno" alle technicalities del gruppo simmetrico, che da solo non mi avrebbe fatto scattare la domanda (interessante?): è vero che ogni gruppo di ordine $n!$ ha un sottogruppo di ordine $n$, per ogni $n$? Per qualche motivo, possibilmente del tutto soggettivo, riconoscere che $S_n$ deve avere un sottogruppo di ordine $n$ perché i gruppi ciclici esistono per ogni $n$ ("a prescindere" dagli $n$-cicli) e perché vale il teorema di Cayley, me l'ha fatto chiedere naturalmente (per quanto "naturali" possano essere queste cose...). E' senz'altro vero invece, come credo tu intenda, che questo approccio diventa "sterile" quando fornisce una scusa a ritardare l'apprendimento delle suddette technicalities, senza le quali non si va molto lontano.
"hydro":
l'astrazione è ottima se e solo se fornisce delle informazioni non banali sul mondo reale.
Sono d'accordo sul "se", ho qualche dubbio sul "solo se": a mio avviso, essa è utile anche quando suggerisce delle domande con un qualche "potenziale conoscitivo", pur senza fornirne (ancora) una risposta. Ad esempio, dire che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ perché contiene l'$n$-ciclo \((12\dots n)\) è un fatto vero, chiaro, concreto, conclusivo, e (troppo?) "appagante". Tuttavia, è così "interno" alle technicalities del gruppo simmetrico, che da solo non mi avrebbe fatto scattare la domanda (interessante?): è vero che ogni gruppo di ordine $n!$ ha un sottogruppo di ordine $n$, per ogni $n$? Per qualche motivo, possibilmente del tutto soggettivo, riconoscere che $S_n$ deve avere un sottogruppo di ordine $n$ perché i gruppi ciclici esistono per ogni $n$ ("a prescindere" dagli $n$-cicli) e perché vale il teorema di Cayley, me l'ha fatto chiedere naturalmente (per quanto "naturali" possano essere queste cose...). E' senz'altro vero invece, come credo tu intenda, che questo approccio diventa "sterile" quando fornisce una scusa a ritardare l'apprendimento delle suddette technicalities, senza le quali non si va molto lontano.
@megas_archon
E' un modo di pensare che diventa interessante a fortiori. Con "informazioni banali" non intendo "vuote", ma "che possono essere dedotte senza sforzo guardando l'oggetto che si sta studiando". Se il tuo scopo è studiare il gruppo simmetrico la prima cosa che fai è pensare al gruppo simmetrico, come sono fatti i suoi elementi eccetra. C'è una discreta mole di informazioni, tra cui l'esistenza di elementi di ordine $n$, che viene fuori in maniera completamente elementare, basta accendere il cervello. Poi una volta che si sono estratte queste informazioni e si è a corto di idee, ben vengano tutti i metodi astratti del mondo per proseguire lo studio. Affrontare i problemi "da un punto di vista superiore" senza prima pensare in modo concreto è quello che porta la gente a blaterare di stack, schemi, fasci e compagni bella senza che poi siano in grado di produrre un singolo working case che non si possa studiare guardando dei polinomi e facendo le derivate. C'è una leggenda metropolitana (che gira in varie versioni) di un dottorando che difese una tesi in cui provava grandi teoremi profondi su una certa classe di anelli. Peccato che qualcuno della commissione si accorse che l'unico elemento di questa classe era l'anello banale.
@luca69
Certo sono d'accordo con te, nel processo di ricerca la motivazione ad andare oltre è fondamentale. Qui mi riferivo semplicemente all'output della ricerca, al modo in cui è presentato. Mantenere le cose più semplici ed effettive che si può giova sia a chi le scrive sia a chi le legge. Chiaro che in questo caso particolare entrambe le prove sono semplici, lo prendevo a modello per le situazioni più complesse.
E' un modo di pensare che diventa interessante a fortiori. Con "informazioni banali" non intendo "vuote", ma "che possono essere dedotte senza sforzo guardando l'oggetto che si sta studiando". Se il tuo scopo è studiare il gruppo simmetrico la prima cosa che fai è pensare al gruppo simmetrico, come sono fatti i suoi elementi eccetra. C'è una discreta mole di informazioni, tra cui l'esistenza di elementi di ordine $n$, che viene fuori in maniera completamente elementare, basta accendere il cervello. Poi una volta che si sono estratte queste informazioni e si è a corto di idee, ben vengano tutti i metodi astratti del mondo per proseguire lo studio. Affrontare i problemi "da un punto di vista superiore" senza prima pensare in modo concreto è quello che porta la gente a blaterare di stack, schemi, fasci e compagni bella senza che poi siano in grado di produrre un singolo working case che non si possa studiare guardando dei polinomi e facendo le derivate. C'è una leggenda metropolitana (che gira in varie versioni) di un dottorando che difese una tesi in cui provava grandi teoremi profondi su una certa classe di anelli. Peccato che qualcuno della commissione si accorse che l'unico elemento di questa classe era l'anello banale.
@luca69
Certo sono d'accordo con te, nel processo di ricerca la motivazione ad andare oltre è fondamentale. Qui mi riferivo semplicemente all'output della ricerca, al modo in cui è presentato. Mantenere le cose più semplici ed effettive che si può giova sia a chi le scrive sia a chi le legge. Chiaro che in questo caso particolare entrambe le prove sono semplici, lo prendevo a modello per le situazioni più complesse.
@hydro: concordo, quando ho difficoltà a capire qualcosa mi accorgo che il motivo è sempre lo stesso: carenza (o a volte addirittura assenza) di esempi. Se non ho esempi mi sembra di parlare del nulla. È questo il rischio principale dell'astrazione eccessiva.
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