Teorema di Bezout, dubbi

[chester92]

Ciao, per chiarezza vi riporto l'enunciato:

Dati a e b in Z,non contemporaneamente nulli, il loro massimo comun divisore si può esprimere come combinazione lineare di a e b ed è anche il minimo delle combinazioni lineari

La dimostrazione fa così

Mettiamoci nell'insieme S = { ax+by [tex]\ge[/tex] 1}, questo insieme è non vuoto perché conterrà almeno a o b visto che non possono essere entrambi nulli ed essendo sotto insieme di N è dotato di minimo. Sia d' il minimo, questo è un divisore comune, infatti per il th della divisione a si può esprimere come a=d'q+r con r[tex]\ge[/tex]0 e r Ma anche il M.C.D. è un divisore comune di a e b e in quanto tale divide anche tutte le combinazioni lineari di a e b. Siccome d' appartiene ad S avrà la forma ax+by, quindi M.C.D./d' e M.C.D. [tex]\le[/tex]d', dovendo valere anche la relazione precendente si ha che d'=M.C.D.

La sottolineatura finale evidenzia come il teorema dipenda fortemente dalla prima sottolineatura, ovvero che partiamo da un insieme S costituito in tal modo, tuttavia l'ipotesi del teorema dice solo a e b appartenenti a Z, quindi quello che mi chiedo io è: è lecito partire da quell'S nella dimostrazione?Non si va a ledere la generalità del teorema limitandola solo al sottoinsieme delle combinazioni lineari di a e b?

Inoltre adesso mi è venuto anche un dubbio sul teorema stesso...prendiamo a=3 e b=11, il loro massimo comun divisore è 1 giusto?Eppure almeno al momento non mi viene in mente una combinazione lineare tale che 3x+11y=1 ...

[Gi81]

Penso che la definizione dell'insieme $S$ sia la seguente: $S={ax+by| x,y in ZZ ^^ ax+by>=1}$
Detto ciò, l'enunciato del teorema è

Siano $a, b in ZZ$ non contemporaneamente nulli.
Allora $M.C.D.(a,b)$ si può esprimere come combinazione lineare di $a$ e $b$ ed è anche il minimo delle combinazioni lineari.

"chester92":è lecito partire da $S$ nella dimostrazione?
Non si va a ledere la generalità del teorema limitandola solo al sottoinsieme delle combinazioni lineari di $a$ e $b$?

Non si lede la generalità del teorema.
Nella dimostrazione si pone $d'=min(S)$, e poi di dimostra che $M.C.D(a,b)=d'$, che è proprio quello che si voleva dimostrare.
Non capisco quale sia il problema.

"chester92":
Posti $a=3$ e $b=11$, si ha che $M.C.D.(3,11)=1$
Eppure almeno al momento non mi viene in mente una combinazione lineare tale che $3x+11y=1$

$x=-7$, $y=2$

[chester92]

"Gi8":
Non si lede la generalità del teorema.
Nella dimostrazione si pone $d'=min(S)$, e poi di dimostra che $M.C.D(a,b)=d'$, che è proprio quello che si voleva dimostrare.
Non capisco quale sia il problema.

Si, ma così non partiamo direttamente dalla tesi?E poi troviamo un M.C.D. limitatamente all'insieme S, chi mi dice che se ci spostiamo in Z (o anche in N, insomma in un insieme più grande di S) il M.C.D. non sia un altro?

[Gi81]

"chester92":
Si, ma così non partiamo direttamente dalla tesi?

Provo a spiegarmi meglio.
$a,b in ZZ$ e fin qui non ci sono problemi.
Sicuramente $EE M.C.D(a,b)$, perchè esiste sempre il massimo comun divisore tra 2 numeri interi.
In realtà, ad essere precisi, ne esistono due, quello positivo e quello negativo (perchè siamo in $ZZ$), ok?
Per esempio, $M.C.D.(-24, 28)={4,-4}$. $M.C.D.(3,-11)={1,-1}$. $M.C.D.(4,2)={2,2}$
Di solito, per convenzione, per comodità, per pigrizia, si indica solo il M.C.D. positivo, ok?

Abbiamo l'insieme $S$ definito come scritto sopra. Sicuramente $S sube NN$, su questo sei d'accordo?
Per questo $S$ ha sicuramente minimo. Chiamiamo $d$ questo elemento minimo.
Nella dimostrazione che hai postato prima, si arriva a dimostrare che $d$ è proprio $M.C.D.(a,b)$ . E' questa qui la tesi (e infatti la si dimostra).

"chester92":E poi troviamo un M.C.D. limitatamente all'insieme S, chi mi dice che se ci spostiamo in Z (o anche in N, insomma in un insieme più grande di S) il M.C.D. non sia un altro?

Chi te lo dice? Proprio questo teorema te lo dice.

[chester92]

Sisi ho fatto un po' di confusione, ora è chiaro grazie!