Teorema decomposizione di Banach e partizioni insiemistiche
Il problema che vi propongo è il seguente:
ho due funzioni \(\displaystyle f:X \rightarrow Y \) e \(\displaystyle g:Y \rightarrow X \),
\(\displaystyle \exists \) una partizione \(\displaystyle \{X_1,X_2\} \) di \(\displaystyle X \) e una partizione \(\displaystyle \{Y_1,Y_2\} \) di \(\displaystyle Y \) tali che \(\displaystyle f(X_1)=Y_1 \) e \(\displaystyle g(Y_2)=X_2 \).
Come suggerimento dice di usare il teorema di Knaster-Tarski con la funzione \(\displaystyle F:\wp(X)\rightarrow\wp(X) \) tale che \(\displaystyle F(S)=X\backslash g(Y\backslash f(S)), \forall S\subseteq X \).
Applicando il teorema vedo che \(\displaystyle X_1 \) è un punto fisso di \(\displaystyle \wp(X) \) e anche \(\displaystyle Y_2 \) di \(\displaystyle \wp(Y) \) però non so veramente come dimostrare la tesi.
ho due funzioni \(\displaystyle f:X \rightarrow Y \) e \(\displaystyle g:Y \rightarrow X \),
\(\displaystyle \exists \) una partizione \(\displaystyle \{X_1,X_2\} \) di \(\displaystyle X \) e una partizione \(\displaystyle \{Y_1,Y_2\} \) di \(\displaystyle Y \) tali che \(\displaystyle f(X_1)=Y_1 \) e \(\displaystyle g(Y_2)=X_2 \).
Come suggerimento dice di usare il teorema di Knaster-Tarski con la funzione \(\displaystyle F:\wp(X)\rightarrow\wp(X) \) tale che \(\displaystyle F(S)=X\backslash g(Y\backslash f(S)), \forall S\subseteq X \).
Applicando il teorema vedo che \(\displaystyle X_1 \) è un punto fisso di \(\displaystyle \wp(X) \) e anche \(\displaystyle Y_2 \) di \(\displaystyle \wp(Y) \) però non so veramente come dimostrare la tesi.
Risposte
Grazie mille, esercizio risolto!
Potete chiudere il topic!
Potete chiudere il topic!
Salve, avrei bisogno anche io di questa dimostrazione!potresti mandarmela?! Grazie mille cmq!!
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