Teorema Cinese e Polinomi

[Lasker96]

Allora, la mia domanda è semplice: visto che la divisione con resto ha perfettamente senso per i polinomi a coefficienti interi (e dunque mi sembra lecito parlare di congruenza modulo $p(x)$ e simili), come potrei applicare il Teorema Cinese del resto ad un sistema di congruenze del tipo
\begin{equation}
\begin{cases}
a(x)\equiv b_1(x) \pmod{p_1(x)}\\a(x)\equiv b_2(x) \pmod{p_2(x)}\\...\\a(x)\equiv b_n(x) \pmod{p_n(x)}
\end{cases}
\end{equation}
con $a(x),b_i(x)$ e $p_i(x)$ generici polinomi a coefficienti interi (magari con i $p_i(x)$ senza fattori comuni)? Nel caso sia difficile una trattazione generale, mi accontenterei anche di un esempio con $n=3$, ed al limite anche con il grado dei $p_i(x)$ minore od uguale ad $1$ (ho sempre avuto un po' di difficoltà ad usare algoritmo di Euclide esteso e t.c.d.r., diciamo che quando mi capita un esercizio che li presuppone vado a tentativi provando i casi e risolvendo le congruenze a coppie, e dopo un bel po' arrivo alla risposta, ma per i polinomi mi piacerebbe usare un approccio più sistematico).
Grazie in anticipo a quanti vorranno darmi le loro risposte .

[Pappappero1]

Bisogna fare un po' di attenzione. $\mathbb{ZZ}[x]$ (l'anello dei polinomi a coefficienti interi) non è un dominio euclideo (e quindi non ha algoritmo di Euclide). Il modo più facile per vederlo è probabilmente osservare che non è un PID (infatti, ad esempio, l'ideale $(2,x)$ non è principale). Il problema sta nel fatto che se il coefficiente direttore del polinomio divisore non divide il coefficiente direttore del polinomio dividendo, non si può fare la divisione con resto (ad esempio non si può dividere $x^2 + 5x +2$ per $2x$).

Tuttavia il Teorema Cinese dei Resti vale praticamente in ogni anello (forse non proprio in ogni anello...non ricordo ipotesi particolari comunque).

In generale, sia $A$ un anello e siano $I_1 , ... , I_k$ ideali di $A$ coprimi a due a due (cioè, per ogni $i,j$ distinti si ha $I_i + I_j =A$). Allora
\[
\frac{A}{ I_1 \cap ... \cap I_k } \simeq A/I_1 \oplus ... \oplus A/I_k.
\]
L'idea è usare questo isomorfismo per trovare un elemento di $A$ la cui classe modulo $(I_1 \cap ... \cap I_k) $ corrisponde attraverso l'isomorfismo all'elemento della somma diretta dato dalle classi dei resti (i tuoi $b_j$) modulo gli ideali su cui stai quozientando (i tuoi $(p_j)$).