Teorema cinese del resto?

[John_Nash11]

Ciao a tutti.
Qualcuno saprebbe spiegarmi perchè è vero che $Z_(ab) ~= Z_a x Z_b$ se e solo se $MCD (a , b)= 1$ ?
Cioè sò che è una cosa vera e la uso spesso in diversi esercizi, ma non capisco da cosa deriva di preciso questa proposizione, so solo che ha a che fare col teorema cinese del resto. Se mi dovessero per esempio chiedere ad un esame orale perchè è vera questa cosa, cosa potrei dire?
Grazie mille!!

[Lord K]

Costruiamo:

$Phi: ZZ/(mnZZ) rightarrow ZZ/(nZZ)xxZZ/(mZZ)$

$a rightarrow ([a]_n,[a]_m)$ con $a in ZZ$

Allora $KerPhi \sub mnZZ$, questo perchè $Phi(a)=0 iff {(a\equiv0(n)),(b\equiv0(m)):}$.

Osserva che $Phi$ è iniettiva se $gcd(m,n)=1$, allora cerchiamo $x in ZZ$:

${(a \equiv x(n)),(b \equiv x(m)):}$

ma questo è unico $mod (mn)$ a patto che $gcd(m,n)=1$ per il teorema cinese del resto e quindi $Phi$ è anche suriettiva. Da cui $ZZ/(mnZZ) \sim ZZ/(nZZ)xxZZ/(mZZ)$