Tema d'esame,esercizio sugli anelli

[Ale0010]

sia $A=Z[X]$ l'anello dei polinomi in una variabile su $Z$.
a)si provi che l'ideale $I$ generato dal polinomio $P(X)= 1-2X$ non è massimale.
b) si trovi in $A$ un ideale massimale contenente $I$.
C)si provi che nell'anello quoziente $A/I$ la classe X è invertibile, e se ne trovi l'inversa.
d) si stabilisca se la funzione $f:(a0+....+anX^n)=a0$ modulo 2 è un omomorfismo di anelli .in caso affermativo,se ne trovi il nucleo.

come faccio a dimostrare innanzitutto che P(X) non è massimale?

[vict85]

"Ale00":sia $A=Z[X]$ l'anello dei polinomi in una variabile su $Z$.
a)si provi che l'ideale $I$ generato dal polinomio $P(X)= 1-2X$ non è massimale.
b) si trovi in $A$ un ideale massimale contenente $I$.
C)si provi che nell'anello quoziente $A/I$ la classe X è invertibile, e se ne trovi l'inversa.
d) si stabilisca se la funzione $f:(a0+....+anX^n)=a0$ modulo 2 è un omomorfismo di anelli .in caso affermativo,se ne trovi il nucleo.

come faccio a dimostrare innanzitutto che P(X) non è massimale?

Tu come pensavi di attaccare il problema?

[bestiedda2]

"Ale00":sia $A=Z[X]$ l'anello dei polinomi in una variabile su $Z$.
a)si provi che l'ideale $I$ generato dal polinomio $P(X)= 1-2X$ non è massimale.
b) si trovi in $A$ un ideale massimale contenente $I$.
C)si provi che nell'anello quoziente $A/I$ la classe X è invertibile, e se ne trovi l'inversa.
d) si stabilisca se la funzione $f:(a0+....+anX^n)=a0$ modulo 2 è un omomorfismo di anelli .in caso affermativo,se ne trovi il nucleo.

come faccio a dimostrare innanzitutto che P(X) non è massimale?

a) puoi trovare una classe che non ammette inversa, poichè l'ideale di un anello commutativo è massimale se e solo se il quoziente è un campo;
b) evidentemente l'anello massimale che contiene I non può essere principale (p(x) non ha divisori in Z[x]): devi allora cercare dei polinomi a coefficienti in Z tali che 2x - 1 sia esprimibile come loro combinazione lineare, e tali che nessuno dei due generi l'intero anello (quindi non puoi prendere 1): prova a trovarli e poi continuiamo
c) molto semplice: qual è il polinomio che moltiplicato per x è congruo a 1 modulo (p) ?
d) non ho capito la domanda

[Ale0010]

non ho mai trovato un es in cui dovevo dimostrare che un polinomio non fosse massimale..quindi come faccio a trovare una classe che non ammette inversa? non so proprio da dove iniziare..

[bestiedda2]

"Ale00":non ho mai trovato un es in cui dovevo dimostrare che un polinomio non fosse massimale..quindi come faccio a trovare una classe che non ammette inversa? non so proprio da dove iniziare..

è l'ideale ad essere massimale, non il polinomio

comunque, nell'anello quoziente modulo un ideale \(\displaystyle I \) la moltiplicazione tra classi è definita così:
\(\displaystyle [q(x)][r(x)]:=[q(x)r(x)] \); trovare l'inversa di una classe \(\displaystyle [q(x)] \) significa trovare quella classe \(\displaystyle [r(x)] \) tale che \(\displaystyle [q(x)][r(x)]=[1] \) ovvero, equivalentemente, quel polinomio \(\displaystyle r(x) \) tale che \(\displaystyle q(x)\cdot r(x) - 1 \equiv 0 mod(I) \); in questo caso l'ideale è generato da \(\displaystyle 2x - 1 \) quindi \(\displaystyle q(x) \cdot r(x) - 1 \equiv 0 \) vuol dire \(\displaystyle q(x) \cdot r(x) - 1=k(x) \cdot (2x-1) \) per qualche \(\displaystyle k(x) \in \mathbb{Z}[x] \); prova a trovare un polinomio \(\displaystyle q(x) \) tale che non esistano \(\displaystyle r,k \) che soddisfano quella equazione! (suggerimento: se due polinomi sono uguali allora sono uguali modulo un qualsiasi intero \(\displaystyle p \) ...)

[Ale0010]

grazie mille..