Tema d'esame .Prodotti diretti.
Salve ragazzi ho questo quesito d'esame , su cui ho alcuni dubbi sulla risoluzione.
Allora ho che:
Si considerino gli anelli $A_1 = (ZZ_3[x])/(_(x^3+2+1))$ ed $A_2= ZZ_28$. E il loro prodotto diretto $A=A_1 X A_2$
a) Determinare l'ordine del gruppo U delle unità di A-
b) Dire se l'elemento $([x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$
c) Determinare , in U, un elemento di periodo 6.
Svolgimento.
a) Ho notato che in $ZZ_28$ gli elementi invertibili sono proprio $f(28) = 12= |U(A_2)$ (ordine di $A_2$)
e in $A_1$ ho notato che poiché $|(ZZ_3[x])/(_(x^3+2x+1))| = 27$ si avrà che $|U(A_1)| = 27-n$ dove n è il numero di polinomi irriducibili che compaiono nella fattorizzazione di $f(X) = x^3+2x+1$.
Ho notato che $f(X) $ è irriducibile e quindi $|U(A_1)| = 27-0=27$.
Ora so che $U(A_1)$ e $u(A_2)$ sono gruppi ciclici rispetto alla somma. avranno dunque generatori.
Siano h , k tali generatori.
ora so che per il Th. Di Lagrange $ o(k)= 27=U(A_1) | |U(A)|$ e che $o(h)=U(A_2)=12 | |U(A)|$ e che dunque $|A|= m.c.m ( 12,27) = 108$.
B) $([x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$ $<=>$ $[x+1] in u(A_1)$ e $[5]_28 in U(A_2)$ .
Ora constatando che $[x+1] in U(A_1)$ e $[5]_28 in U(A_2)$ ho che $({x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$.
e si ha che $[5]^-1_28 = [17]_28$ e che $[x+1]^-1 = [x^2-x]$
dunque l'inverso di $({x+1] , [5]_28) $ è $([x^2-x] , [17]_28) in A$
c) Sia $[ax^2+bx+c] in U(A_1)$ e $[a]_28 in U(Z_28)$. Devo trovare un $([ax^2+bx+c] , [a]_28) in U(A)$ t.c $([ax^2+bx+c] , [a]_28)^6 =([ax^2+bx+c]^6 , [a]^6_28) = ([1] , [1]_28)$.
Ora in $U(A_1)$ non vi sono elementi di periodo sei oltre all'elemento [1].
Ora in $U(A_2)$ ho che [3]_28 ha periodo 12. e che $U(A_2) = <[3]_28>$ . E quindi mi sono trovato un elemento di periodo 6 in $<[3]_28>$, cioè ad esempio $[9]_28$
dunque un elemento di $u(A)$ di periodo 6 è $([1], [9]_28)$.
Come vi sembra la risoluzione? Non sono molto sicuro sul punto a) e sul punto c).
Ringrazio anticipatamente tutti per una vostra eventuale risposta.
Allora ho che:
Si considerino gli anelli $A_1 = (ZZ_3[x])/(_(x^3+2+1))$ ed $A_2= ZZ_28$. E il loro prodotto diretto $A=A_1 X A_2$
a) Determinare l'ordine del gruppo U delle unità di A-
b) Dire se l'elemento $([x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$
c) Determinare , in U, un elemento di periodo 6.
Svolgimento.
a) Ho notato che in $ZZ_28$ gli elementi invertibili sono proprio $f(28) = 12= |U(A_2)$ (ordine di $A_2$)
e in $A_1$ ho notato che poiché $|(ZZ_3[x])/(_(x^3+2x+1))| = 27$ si avrà che $|U(A_1)| = 27-n$ dove n è il numero di polinomi irriducibili che compaiono nella fattorizzazione di $f(X) = x^3+2x+1$.
Ho notato che $f(X) $ è irriducibile e quindi $|U(A_1)| = 27-0=27$.
Ora so che $U(A_1)$ e $u(A_2)$ sono gruppi ciclici rispetto alla somma. avranno dunque generatori.
Siano h , k tali generatori.
ora so che per il Th. Di Lagrange $ o(k)= 27=U(A_1) | |U(A)|$ e che $o(h)=U(A_2)=12 | |U(A)|$ e che dunque $|A|= m.c.m ( 12,27) = 108$.
B) $([x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$ $<=>$ $[x+1] in u(A_1)$ e $[5]_28 in U(A_2)$ .
Ora constatando che $[x+1] in U(A_1)$ e $[5]_28 in U(A_2)$ ho che $({x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$.
e si ha che $[5]^-1_28 = [17]_28$ e che $[x+1]^-1 = [x^2-x]$
dunque l'inverso di $({x+1] , [5]_28) $ è $([x^2-x] , [17]_28) in A$
c) Sia $[ax^2+bx+c] in U(A_1)$ e $[a]_28 in U(Z_28)$. Devo trovare un $([ax^2+bx+c] , [a]_28) in U(A)$ t.c $([ax^2+bx+c] , [a]_28)^6 =([ax^2+bx+c]^6 , [a]^6_28) = ([1] , [1]_28)$.
Ora in $U(A_1)$ non vi sono elementi di periodo sei oltre all'elemento [1].
Ora in $U(A_2)$ ho che [3]_28 ha periodo 12. e che $U(A_2) = <[3]_28>$ . E quindi mi sono trovato un elemento di periodo 6 in $<[3]_28>$, cioè ad esempio $[9]_28$
dunque un elemento di $u(A)$ di periodo 6 è $([1], [9]_28)$.
Come vi sembra la risoluzione? Non sono molto sicuro sul punto a) e sul punto c).
Ringrazio anticipatamente tutti per una vostra eventuale risposta.
Risposte
La soluzione non va molto bene
a) La formula $|U(A_1)| = 27-n$ e' assurda. Da dove viene?
L'anello $A_1$ e' un campo perche' $x^3-x+1$ e' irriducibile in $\Z_3[x]$.
Il gruppo $U(A_1)$ ha quindi $26$ elementi.
Poiche' la cardinalita' di $U(A_1\times A_2)$ e' il prodotto di $|U(A_1)|=27$ e $|U(A_2)|=12$
(non il m.c.m) $A_1\times A_2$ ha $26\times 12 = 312$ elementi invertibili.
b) $(x+1)(x^2-x) = x^3-x=-1$ modulo $x^3-x+1$ e quindi $x^2-x$
non e' l'inverso moltiplicativo di $x+1$ in $A_1$.
c) Non e' vero che $9$ ha ordine $6$ modulo $28$. E $3$ non ha ordine $12$
ma ordine $6$ modulo~$28$.
a) La formula $|U(A_1)| = 27-n$ e' assurda. Da dove viene?
L'anello $A_1$ e' un campo perche' $x^3-x+1$ e' irriducibile in $\Z_3[x]$.
Il gruppo $U(A_1)$ ha quindi $26$ elementi.
Poiche' la cardinalita' di $U(A_1\times A_2)$ e' il prodotto di $|U(A_1)|=27$ e $|U(A_2)|=12$
(non il m.c.m) $A_1\times A_2$ ha $26\times 12 = 312$ elementi invertibili.
b) $(x+1)(x^2-x) = x^3-x=-1$ modulo $x^3-x+1$ e quindi $x^2-x$
non e' l'inverso moltiplicativo di $x+1$ in $A_1$.
c) Non e' vero che $9$ ha ordine $6$ modulo $28$. E $3$ non ha ordine $12$
ma ordine $6$ modulo~$28$.
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