Tale che e implicazione logica
Ciao.
Sono molto poco ferrato in logica quindi mi scuso per le scemenze che sto per dire, tuttavia vorrei capire un po' meglio la seguente faccenda: che legame c'è tra implicazione logica e il tale che? (SE sussiste).
Il dubbio mi è sorto leggendo la definizione di zero divisore:
- Dato un A anello commutativo con unità mi si definisce lo zero divisore un elemento a dell'anello se esiste un b dell'anello tale che a*b=0 (con a,b diversi da zero).
- Ora, mi viene da poterla riscrivere come gli zero divisori sono quelle a che rendono vera: $a in A e b in A, a,b!=0 => a*b=0$.
In altre parole sostituendo il valore di a ottengo la proposizione che può essere vera o falsa e per gli a in cui risulta vera ho quell' a zero divisore.
Da qui la domanda, se non ho preso cantonate: ma sussiste quindi un legame tra "t.c." e "=>" avendo - di fatto - potuto trasformare una definizione da una all'altra sfruttando due "operatori logici" apparentemente diversi?
Ringrazio chi avrà voglia di dipanare il mio dubbio e mettermi a posto le idee
Sono molto poco ferrato in logica quindi mi scuso per le scemenze che sto per dire, tuttavia vorrei capire un po' meglio la seguente faccenda: che legame c'è tra implicazione logica e il tale che? (SE sussiste).
Il dubbio mi è sorto leggendo la definizione di zero divisore:
- Dato un A anello commutativo con unità mi si definisce lo zero divisore un elemento a dell'anello se esiste un b dell'anello tale che a*b=0 (con a,b diversi da zero).
- Ora, mi viene da poterla riscrivere come gli zero divisori sono quelle a che rendono vera: $a in A e b in A, a,b!=0 => a*b=0$.
In altre parole sostituendo il valore di a ottengo la proposizione che può essere vera o falsa e per gli a in cui risulta vera ho quell' a zero divisore.
Da qui la domanda, se non ho preso cantonate: ma sussiste quindi un legame tra "t.c." e "=>" avendo - di fatto - potuto trasformare una definizione da una all'altra sfruttando due "operatori logici" apparentemente diversi?
Ringrazio chi avrà voglia di dipanare il mio dubbio e mettermi a posto le idee
Risposte
A me il tale che dice "e ($\^^$)"
Dire "$p$ se esiste un $x$ tale che $q(x)$" (con $p$ proposizione generica e $q$ una proposizione in funzione di $x$) è come dire $EEx^^q(x)=>p$
Ma esiste già in matematica il "tale che": $(EEx|q(x))=>p$
Dire "$p$ se esiste un $x$ tale che $q(x)$" (con $p$ proposizione generica e $q$ una proposizione in funzione di $x$) è come dire $EEx^^q(x)=>p$
Ma esiste già in matematica il "tale che": $(EEx|q(x))=>p$
No, il tale che non é la stessa cosa di \(\Rightarrow\). Quest'ultimo si legge "implica che". La definizione di divisore dello zero che hai dato é corretta a parole, ma non in formule. Non ci devi mettere \(\Rightarrow\).
Vi ringrazio.
In effetti penso sia stato questo a confondermi, ma non capisco perché a parole funzioni ma sia sbagliato "=>", sapresti farmi capire perché è sbagliato? Non riesco ad accorgermi cosa non vada Thx
"dissonance":
No, il tale che non é la stessa cosa di \(\Rightarrow\). Quest'ultimo si legge "implica che". La definizione di divisore dello zero che hai dato é corretta a parole, ma non in formule. Non ci devi mettere \(\Rightarrow\).
In effetti penso sia stato questo a confondermi, ma non capisco perché a parole funzioni ma sia sbagliato "=>", sapresti farmi capire perché è sbagliato? Non riesco ad accorgermi cosa non vada
Thx
La differenza è abbastanza evidente: \(\Rightarrow\) è un'operazione tra proposizioni, mentre [qualsiasi simbolo usi per indicare "tale che"] è una limitazione al dominio di quelle proposizioni. A seconda del formalismo che scegli questa può essere una ipotesi o un giudizio che dai.
La tua definizione di divisore dello zero poi non può essere giusta, perché altrimenti ogni elemento è un divisore dello zero (prendi $b=0$).
Un divisore dello zero in un anello $R$ è un elemento \(a\in R\color{red}\setminus\{0\}\) tale che esista \(b\in R\color{red}\setminus\{0\}\), per cui $ab=0$.
Formalmente, l'insieme \(\text{Div}_0(R) \subseteq R\) è definito da
\[ \text{Div}_0(R) := \sum_{a\in R\setminus\{0\}} \{b_a \mid b_a\neq 0\land ab_a=0\}\] il "tale che" in questa espressione è il \mid \(\mid\), che in questo contesto non ha valore sintattico (è semplicemente un separatore che indica la proposizione che identifica il tipo \(\text{Div}_0(R)\)).
La tua definizione di divisore dello zero poi non può essere giusta, perché altrimenti ogni elemento è un divisore dello zero (prendi $b=0$).
Un divisore dello zero in un anello $R$ è un elemento \(a\in R\color{red}\setminus\{0\}\) tale che esista \(b\in R\color{red}\setminus\{0\}\), per cui $ab=0$.
Formalmente, l'insieme \(\text{Div}_0(R) \subseteq R\) è definito da
\[ \text{Div}_0(R) := \sum_{a\in R\setminus\{0\}} \{b_a \mid b_a\neq 0\land ab_a=0\}\] il "tale che" in questa espressione è il \mid \(\mid\), che in questo contesto non ha valore sintattico (è semplicemente un separatore che indica la proposizione che identifica il tipo \(\text{Div}_0(R)\)).
molto gentile, è chiaro
Vorrei capire dove diamine approfondire queste questioni di logica perché in nessun corso affrontato (n analisi e 1 -che sto studiando- di 2 algebre) ho trovato una formalizzazione soddisfacente. A che punto della mia carriera le vedrò in modo migliore?
Vorrei capire dove diamine approfondire queste questioni di logica perché in nessun corso affrontato (n analisi e 1 -che sto studiando- di 2 algebre) ho trovato una formalizzazione soddisfacente. A che punto della mia carriera le vedrò in modo migliore?
La risposta è mai, ovviamente.
Risposta interessante, il che mi angoscia abbastanza 
.
ma nel senso che di solito non vengono affrontate? Che strana cosa... Lo chiedo per curisità, non sono assolutamente critico, ma per approfondire la tua risposta
.ma nel senso che di solito non vengono affrontate? Che strana cosa... Lo chiedo per curisità, non sono assolutamente critico, ma per approfondire la tua risposta
"megas_archon":
La risposta è mai, ovviamente.
Comunque, ricordo che a un certo punto degli studi universitari ho avuto anche io questi turbamenti. Allora mi sono comprato il libro "Topology" di Munkres e ho studiato il capitolo introduttivo, che tratta proprio di logica e di "naive set theory". Ci ho messo un paio di settimane, credo, ma dopo di che non ho più avuto necessità di tornare su quelle cose. (Qui una conversazione dell'epoca, in cui parlo proprio di queste letture. Sono passati 12 anni, quasi 13.)
"dissonance":
[quote="megas_archon"]La risposta è mai, ovviamente.
[/quote]Se era ironia non l'avevo percepita. lol. Ero davvero incuriosito
Ho modificato il messaggio precedente.
In ogni caso, non credo che megas_archon fosse ironico. Penso anche io che non vedrai un corso di logica a meno che non te lo metta a forza nel programma. Ma questo dipende molto dal percorso che scegli di seguire.
In ogni caso, non credo che megas_archon fosse ironico. Penso anche io che non vedrai un corso di logica a meno che non te lo metta a forza nel programma. Ma questo dipende molto dal percorso che scegli di seguire.
uh molto interessante il tuo consiglio 
@dissonance, vedo di reperirlo. Mercì
@dissonance, vedo di reperirlo. Mercì
Sì, non stavo scherzando; e in effetti anche facendo un corso di logica, quello che probabilmente studieresti è teoria dei modelli e/o teoria degli insiemi (teoria descrittiva o altro). Prova a leggere qui comunque: https://planetmath.org/hilbertsvarepsilonoperator
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