Sylov e sottogruppi normali

[nato_pigro1]

Provare che ogni gruppo di ordine $100$ ha un sottogruppo normale. (sugg: usare i teoremi di Sylow)

riesco a dire che c'è un solo 5-sgr di Sylow e ha ordine 25, ma non sono come conludere...

[vict85]

Beh... [tex]100 = 2^2\cdot 5^2[/tex]

I [tex]5[/tex]-Sylow per i teoremi di Sylow hanno ordine [tex]25[/tex] e il loro numero divide [tex]4[/tex] ([tex]100/25[/tex]) ed è congruente a [tex]1\mod{5}[/tex].

L'unico numero con quelle proprietà è [tex]1[/tex] e dato che i [tex]5[/tex]-Sylow sono coniugati tra loro (2° teorema di Sylow). Allora il [tex]5[/tex]-Sylow è chiuso rispetto agli isomorfismi interni e quindi è normale.

[EDIT] Usando lo stesso principio se [tex]|G|=p^{\alpha}m[/tex] con [tex](p,m)=1[/tex] e [tex]m

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