Svolgimento di una prova scritta di algebra 1 v.o.
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio inerente ad una prova di algebra 1 v.o. ;
l'esercizio riguardante i gruppi si svolge su quattro punti dove $G=GL(2,Z_6)$ gruppo e si considera la parte $H$ definita nella seguente maniera
i) provare che $H le G$ abeliano, se ne determini l'ordine, e si studi se $H$ è normale in $G$.
-Per come è stata definita la parte $H$ di $G$ risulta $I_2 in H \ to \ H ne emptyset,$quindi, siano $A,B in H$ con
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & a \end{vmatrix} \) , \(\displaystyle B=\begin{vmatrix} b & 0 \\ d & b \end{vmatrix} \) per come si determina l'inversa, si ha \(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} a^{-1} & 0 \\ -c/a^{2} & a^{-1} \end{vmatrix} \), pertanto \(\displaystyle A^{-1}B=\begin{vmatrix} a^{-1} & 0 \\ -c/a^{2} & a^{-1} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b & 0 \\ d & b \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^{-1}b & 0 \\ -cb/a^2+a^{-1}d & a^{-1}b \end{vmatrix} \).
Quindi $A^{-1}B in H$ segue $H le G$.
-Siano $A,B in H$ si ha
-$Z_6^**={1,5}$, fissato $a in Z_6^**$ si hanno sei elementi distinti in $H$, infine essendo $|Z_6^**|=2$ ed $|Z_6|=6$ si ha $|H|=2*6=12$.
- siano $A in G$, $H in H$, con \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \) dove $Delta=ad-bc=y in {1,5}$, quindi
\(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} \tfrac{d}{ad-bc} & \tfrac{-b}{ad-bc} \\ \tfrac{-c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{vmatrix} \) allora
Se non ho fatto errori di calcolo, dovrebbe non appartenerci in $H,$ quindi, $H$ non è normale in $G$.
L'esercizio non si conclude qui, ci sono altri tre punti, per evitare confusioni mi fermo qui, vi chiedo se quello che ho scritto potrebbe andare bene.
Grazie
l'esercizio riguardante i gruppi si svolge su quattro punti dove $G=GL(2,Z_6)$ gruppo e si considera la parte $H$ definita nella seguente maniera
\(\displaystyle H={\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & a \end{vmatrix} : a \in Z_6^**, c \in Z_6 }. \)
i) provare che $H le G$ abeliano, se ne determini l'ordine, e si studi se $H$ è normale in $G$.
-Per come è stata definita la parte $H$ di $G$ risulta $I_2 in H \ to \ H ne emptyset,$quindi, siano $A,B in H$ con
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & a \end{vmatrix} \) , \(\displaystyle B=\begin{vmatrix} b & 0 \\ d & b \end{vmatrix} \) per come si determina l'inversa, si ha \(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} a^{-1} & 0 \\ -c/a^{2} & a^{-1} \end{vmatrix} \), pertanto \(\displaystyle A^{-1}B=\begin{vmatrix} a^{-1} & 0 \\ -c/a^{2} & a^{-1} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b & 0 \\ d & b \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a^{-1}b & 0 \\ -cb/a^2+a^{-1}d & a^{-1}b \end{vmatrix} \).
Quindi $A^{-1}B in H$ segue $H le G$.
-Siano $A,B in H$ si ha
\(\displaystyle AB=\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & a \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b & 0 \\ d & b \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} ab & 0 \\ cb+ad & ab \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} ba & 0 \\ da+bc & ba \end{vmatrix}=BA\).
Quindi $H$ è abeliano.-$Z_6^**={1,5}$, fissato $a in Z_6^**$ si hanno sei elementi distinti in $H$, infine essendo $|Z_6^**|=2$ ed $|Z_6|=6$ si ha $|H|=2*6=12$.
- siano $A in G$, $H in H$, con \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \) dove $Delta=ad-bc=y in {1,5}$, quindi
\(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} \tfrac{d}{ad-bc} & \tfrac{-b}{ad-bc} \\ \tfrac{-c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{vmatrix} \) allora
\(\displaystyle A^{-1}HA=\begin{vmatrix} \tfrac{d}{ad-bc} & \tfrac{-b}{ad-bc} \\ \tfrac{-c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ z & x \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \tfrac{d}{ad-bc} & \tfrac{-b}{ad-bc} \\ \tfrac{-c}{ad-bc} & \tfrac{a}{ad-bc} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} xa & xb \\ za+xc & zb+xd \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \tfrac{dxa-b(za+xc)}{ad-bc} & \tfrac{-dxb-b(zb+xd)}{ad-bc} \\ \tfrac{-cxa+a(za+xc)}{ad-bc} & \tfrac{-cxb+a(zb+xd)}{ad-bc} \end{vmatrix} \).
Se non ho fatto errori di calcolo, dovrebbe non appartenerci in $H,$ quindi, $H$ non è normale in $G$.
L'esercizio non si conclude qui, ci sono altri tre punti, per evitare confusioni mi fermo qui, vi chiedo se quello che ho scritto potrebbe andare bene.
Grazie
Risposte
"Pasquale 90":
Se non ho fatto errori di calcolo, dovrebbe non appartenerci in $H,$ quindi, $H$ non è normale in $G$.
Questa cosa che scrivi non ha senso. Apparterrà certamente ad $H$ per alcune scelte di $a,b,c,d,x,z$. Per provare che $H$ non è normale devi dimostrare che esiste una scelta di $a,b,c,d,x,z$ per cui quella roba non sta in $H$.
Ciao hydro grazie per avermi risposto.
Comunque penso che per le scelte delle matrici potrei prendere \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) dove $Delta_A=5*1-4*1=1$ allora \(\displaystyle A=^{-1}\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} \) e \(\displaystyle H=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \) facendo il prodotto
\(\displaystyle A^{-1}HA=\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -20 \\ 0 & 25 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -15 & -16 \\ 5 & 5 \end{vmatrix}\)
dove
$-15=-12-3=-6*2-3=-3$ quindi $-3=6-3=3,$
$-16=-12-4=-6*2-4=-4$ quindi $-4=6-4=2,$
allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} \notin H \) pertanto $H$ non è normale in $G$.
Può andare bene ?
Ciao.
Comunque penso che per le scelte delle matrici potrei prendere \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) dove $Delta_A=5*1-4*1=1$ allora \(\displaystyle A=^{-1}\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} \) e \(\displaystyle H=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \) facendo il prodotto
\(\displaystyle A^{-1}HA=\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -20 \\ 0 & 25 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -15 & -16 \\ 5 & 5 \end{vmatrix}\)
dove
$-15=-12-3=-6*2-3=-3$ quindi $-3=6-3=3,$
$-16=-12-4=-6*2-4=-4$ quindi $-4=6-4=2,$
allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} \notin H \) pertanto $H$ non è normale in $G$.
Può andare bene ?
Ciao.
Adesso sì. Ti basta scrivere questo per rispondere correttamente.
Buongiorno, quindi proseguo con il punto successivo.
ii) Posto \(\displaystyle X=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}, Y=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}, Z=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \) si determino periodo di $X$ di $Y$, di $Z$ e si scrivano gli elementi di $, , $.
Si ha \(\displaystyle X^{2}=XX=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \) allora \(\displaystyle X^{3}=X^{2}X=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\), pertanto il periodo di $X$ è tre, quindi $\ =\{X,X^2,X^3}$.
Invece \(\displaystyle Y^{2}=YY=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \), pertanto il periodo di $Y$ è due, quindi $ \=\{Y,Y^2}$
Infine si ha
\(\displaystyle Z^{2}=ZZ=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 25 & 0 \\ 20 & 25 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{3}=ZZ^{2}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{4}=ZZ^{3}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{5}=Z^{4}Z=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}. \)
Osservo che quando $m in NN$ è pari di $Z^m$ si ha \(\displaystyle Z^m=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}, \) invece quando $1\=\{Z,Z^2,Z^3}.$
Ciao
ii) Posto \(\displaystyle X=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}, Y=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}, Z=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \) si determino periodo di $X$ di $Y$, di $Z$ e si scrivano gli elementi di $
Si ha \(\displaystyle X^{2}=XX=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \) allora \(\displaystyle X^{3}=X^{2}X=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\), pertanto il periodo di $X$ è tre, quindi $
Invece \(\displaystyle Y^{2}=YY=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \), pertanto il periodo di $Y$ è due, quindi $
Infine si ha
\(\displaystyle Z^{2}=ZZ=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 25 & 0 \\ 20 & 25 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{3}=ZZ^{2}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{4}=ZZ^{3}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle Z^{5}=Z^{4}Z=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}. \)
Osservo che quando $m in NN$ è pari di $Z^m$ si ha \(\displaystyle Z^m=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}, \) invece quando $1
Ciao
Hai sbagliato a calcolare $Z^4$ . Dovrebbe venire $ | ( 1 , 0 ),( 4 , 1 ) | $. Correggendo, dovresti trovarti che $Z$ ha periodo $6$.
Grazie , si facendo i calcoli mi ritrovo che il periodo è sei.
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