Suriettività e iniettività di un applicazione

[gaten]

Posto $S = {-1, +1, +3}$, si consideri il prodotto cartesiano $SxS$.
i) Verificare che per ogni $(a,b) in SxS a^2+b^2$ è un multiplo di $2$. Definita poi l’applicazione
$f: (a,b) in SxS -> a^2+b^2 in 2Z$ , studiare iniettività e suriettività.

Ragazzi partendo dalle definizioni di iniettività:

$f: SxS -> 2Z$ è iniettivia se, $AA (a,b), (c,d) in SxS, [f(a,b)=f(c,d)]=>(a,b)=(c,d)$

Quindi dovrei prendere due f generiche e eguagliarle:

$f(a,b)=f(c,d)$
$a^2+b^2=c^2+d^2$
arrivato qui, cosa dico?


Per la suriettività invece dovrei dimostrare questo:

$AA y in 2Z, EE (a,b) in SxS: y=f ((a ; b)) $

$y=a^2+b^2 => $ Qui invece come faccio a dimostrare la suriettività

[theras]

{ }

"gaten":Posto $S = {-1, +1, +3}$, si consideri il prodotto cartesiano $SxS$.
i) Verificare che per ogni $(a,b) in SxS a^2+b^2$ è un multiplo di $2$. Definita poi l’applicazione
$f: (a,b) in SxS -> a^2+b^2 in 2Z$ , studiare iniettività e suriettività.

Ragazzi partendo dalle definizioni di iniettività:

$f: SxS -> 2Z$ è iniettivia se, $AA (a,b), (c,d) in SxS, [f(a,b)=f(c,d)]=>(a,b)=(c,d)$

Quindi dovrei prendere due f generiche e eguagliarle:

$f(a,b)=f(c,d)$
$a^2+b^2=c^2+d^2$
arrivato qui, cosa dico?

Daro che non sembrerebbe esserci motivo per il quale tale uguaglianza debba implicare (a,b)=(c,d),
coltiva il dubbio che da essa tu possa trarre lo spunto per trovare un buon controesempio tramite il quale affermare la mancata iniettività della tua applicazione:
dai,che non sarebbe la prima volta in cui faresti giochetti del genere..

"gaten":
Per la suriettività invece dovrei dimostrare questo:

$AA y in 2Z, EE (a,b) in SxS: y=f ((a ; b)) $

$y=a^2+b^2 => $ Qui invece come faccio a dimostrare la suriettività

A me sembra che $a^2+b^2<=18$ $AA(a,b)inSxxS$ ed inotre,ad esempio,$20in2ZZ$:
trarre conclusioni da questo non dovrebbe essere difficile,
pur essendo vero che se restringessi il tuo codominio al solo {2,10,18} sarebbe tutto un altro paio di maniche..
Saluti dal web.

[gaten]

Per l'iniettività basta che prendo:

$(-1,1)$ e $(1,1)$

$-1^2+1^2 = 1^2+1^2$ eppure le coppie sono differenti.


Per la suriettività?

[theras]

"gaten":Per l'iniettività basta che prendo:

$(-1,1)$ e $(1,1)$

$(-1)^2+1^2 = 1^2+1^2$ eppure le coppie sono differenti.

E quì ci siamo:
niente iniettività,ohibò..

"gaten":
Per la suriettività?

Se $f(a,b)=a^2+b^2<=18$,dove lo trovi un elemento $(a,b)inSxxS$ tale che $f(a,b)=20>18$?
Saluti dal web.

[gaten]

Non esiste alcun elemento in s che mi permette di ottenere $20$