Suriettività di una funzione, chiarimento sul codominio

[Serus]

Salve a tutti,
quella che sto per proporre è forse una domanda estremamente banale ma non riesco a trovare una risposta certa quindi mi affido a voi.
La funzione:
\(\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z} \rightarrow \frac{x+1}{3} \in \mathbb{Q} \)
è suriettiva?

La definizionedi suriettvità dice che, in parole, ogni elemento del codominio deve essere immagine di almeno un elemento del dominio.

Il mio dubbio è: il codominio, in questo caso, è tutto \(\displaystyle \mathbb{Q} \) o è l'insieme di elementi \(\frac{x+1}{3} \in \mathbb{Q} \) ?
Nel primo caso, la funzione non sarebbe suriettiva perchè qualsiasi elemento \(\displaystyle \frac{x}{y} \) con y diverso da 3 non avrebbe immagine.
Nel secondo caso invece, la funzione sarebbe suriettiva...

In breve: il codominio a quali elementi corrisponde?

Ringrazio in anticipo

[Reyzet]

$1/2$ o $4/5$ (presi a caso) hanno una controimmagine in $mathbb\{Z}$?

[Serus]

"Reyzet":$1/2$ o $4/5$ (presi a caso) hanno una controimmagine in $mathbb\{Z}$?

Il punto è... fanno parte del codominio?
applicando la funzione, non possono essere generati da nessun x (perchè non esiste nessun x tale che $x+1/3 = 1/2$ o $4/5$) quindi...no?

[Reyzet]

Certo che stanno nel codominio, il codominio è $\mathbb{Q}$, però non nell'immagine, pertanto non è suriettiva.

[Serus]

"Reyzet":Certo che stanno nel codominio, il codominio è $\mathbb{Q}$, però non nell'immagine, pertanto non è suriettiva.

Perfetto, grazie mille per il chiarimento

[Martino]

Vedi anche

qui(1)

e

qui(2).

La cosa più importante da capire è che una funzione consiste di TRE cose: dominio, codominio, e insieme delle coppie $(x,f(x))$ (ovvero la "regola" che definisce la funzione). Alle scuole superiori purtroppo il dominio viene introdotto in modo approssimativo e il codominio viene totalmente frainteso (e confuso con l'immagine, che è un'altra cosa).

Penso che questo ti aiuterà a capire: farò adesso la lista di tutte le funzioni di dominio ${1,2}$ e codominio ${1,2,3}$. Nessuna di esse è suriettiva.

Funzione 1.
$1 to 1$
$2 to 1$

Funzione 2.
$1 to 1$
$2 to 2$

Funzione 3.
$1 to 1$
$2 to 3$

Funzione 4.
$1 to 2$
$2 to 1$

Funzione 5.
$1 to 2$
$2 to 2$

Funzione 6.
$1 to 2$
$2 to 3$

Funzione 7.
$1 to 3$
$2 to 1$

Funzione 8.
$1 to 3$
$2 to 2$

Funzione 9.
$1 to 3$
$3 to 3$

[Serus]

"Martino":Vedi anche

qui(1)

e

qui(2).

La cosa più importante da capire è che una funzione consiste di TRE cose: dominio, codominio, e insieme delle coppie $(x,f(x))$ (ovvero la "regola" che definisce la funzione). Alle scuole superiori purtroppo il dominio viene introdotto in modo approssimativo e il codominio viene totalmente frainteso (e confuso con l'immagine, che è un'altra cosa).

Penso che questo ti aiuterà a capire: farò adesso la lista di tutte le funzioni di dominio ${1,2}$ e codominio ${1,2,3}$. Nessuna di esse è suriettiva.

Funzione 1.
$1 to 1$
$2 to 1$

Funzione 2.
$1 to 1$
$2 to 2$

Funzione 3.
$1 to 1$
$2 to 3$

Funzione 4.
$1 to 2$
$2 to 1$

Funzione 5.
$1 to 2$
$2 to 2$

Funzione 6.
$1 to 2$
$2 to 3$

Funzione 7.
$1 to 3$
$2 to 1$

Funzione 8.
$1 to 3$
$2 to 2$

Funzione 9.
$1 to 3$
$3 to 3$

Grazie mille, molto gentile (l'esempio è stato molto chiaro)