Surgettività dell'endomorfismo di Frobenius
Sia $mathcal{F}$ l'endomorfismo di Frobenius:
$mathcal{F} : mathbb{Z}_p \rightarrow mathbb{Z}_p$
$a \mapsto a^p$
esiste $p$ per cui $\mathcal{F}$ non sia surgettivo?
Sono certo del fatto che se $\mathbb{Z}_p$ è un campo finito l'endomorfismo è surgettivo, solo non riesco a dimostrare che se $\overline{mathbb{Z}_p}$è una chiusura algebrica di $\mathbb{Z}_p$ $\Rightarrow$ $\mathcal{F}$ è/non è surgettivo.
Qualche suggerimento?
$mathcal{F} : mathbb{Z}_p \rightarrow mathbb{Z}_p$
$a \mapsto a^p$
esiste $p$ per cui $\mathcal{F}$ non sia surgettivo?
Sono certo del fatto che se $\mathbb{Z}_p$ è un campo finito l'endomorfismo è surgettivo, solo non riesco a dimostrare che se $\overline{mathbb{Z}_p}$è una chiusura algebrica di $\mathbb{Z}_p$ $\Rightarrow$ $\mathcal{F}$ è/non è surgettivo.
Qualche suggerimento?
Risposte
I campi di caratteristica p in cui l'endomorfismo di Frobenius è suriettivo si chiamano campi perfetti (perfect field). Per esempio i campi finiti e i campi algebricamente chiusi sono perfetti. Prova a fare una ricerca su google (preferibilmente in inglese).
Se il tuo campo di caratteristica $p$ è algebricamente chiuso allora è perfetto perché se $b$ è un elemento qualunque allora $x^p-b$ ha zeri nel campo. Detto $a$ un suo zero si ha $a^p=b$.
Se il tuo campo di caratteristica $p$ è algebricamente chiuso allora è perfetto perché se $b$ è un elemento qualunque allora $x^p-b$ ha zeri nel campo. Detto $a$ un suo zero si ha $a^p=b$.
Ciao, ti ringrazio per la risposta e la segnalazione, mi sono letto alcune cose sui campi perfetti che non conoscevo ed ho trovato molto interessanti.
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