Sup(X) e max(X)

[Ryuzaky*]

Salve, avrei bisogno di un aiuto con un lemma riguardante sup/inf(X) e min/max(X)

Inanzi tutto mi sembra di aver capito che min/max(X) $\in $ X (Cioè si riferiscono agli elementi dell'insieme X) mentre inf/sup si riferisce all'insieme di minoranti($A$) e/o maggioranti($B$). Il problema è questo: Se un insieme $X\subset\mathbb{R}$ ha un massimo, quindi max(X) esso ha anche sup(X) e sup(X)=max(X) ma non è sempre verificabile il contrario. Idem per min(X) e inf(X), qualcuno può aiutarmi con una dimostrazione ?

[Mrhaha]

Oddio,non è che sia chiarissimo,però comincio col dire (magari lo sai già!) che la differenza tra sup e max sta nel fatto che il sup non appartiene al dato insieme,mentre il max invece si. Poi penso che l'implicazione sia ovvia,nel senso che basta applicare la defizione di massimo e quella di sup e ti segue l'asserto. Il contrario quale sarebbe?

[Ryuzaky*]

Ad esempio $X={x\in\mathbb{Q} : 2 \leq x < 4 }$

4 è sup(X) ma non max(X)

ma se fosse stato $2\leq x \leq 4$ 4 sarebbe stato sup(x) ? o solo max(x)

[Mrhaha]

Sarebbe stato sia sup che max! Perchè?
Ricorda che il max è il sup,con l'unica differenza che appartiene all'insieme!

[Ryuzaky*]

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua (vuoto per giunta) Se il sup coincide con il max e gli insiemi (finiti) sono sempre limitati sia superiormente che inferiormente vuol dire che max esiste sempre, e di conseguenza anche sup !
O forse ciò succede solo quando si ha un intervallo chiuso poiche se per es ho 20$ considero per la densità di $ \mathbb{R}$ avro sempre un $\lambda$ tale che sup(x)- $\epsilon< \lambda$ sup(X) e quindi tutto ciò si riduce ad estremo aperto o chiuso sbaglio ?

[gundamrx91-votailprof]

Seppure scritto in modo un pò contorto mi sembra corretto

[Ryuzaky*]

Devo mettere a posto le idee Grazie mille.