Sull'ipotesi del continuo

[otta96]

Recentemente mi sono messo a studiare la teoria dei cardinali e degli ordinali per curiosità, e ho capito molte cose di cui prima avevo sentito parlare ma di cui non coglievo pienamente il significato (non che ora possa dirmi un esperto!).
Solo che c'è una cosa che non sono riuscito a chiarirmi, che riguarda l'ipotesi del continuo, so che è indecidibile, ma non mi è chiaro cosa può succedere se assumiamo che sia falsa, in particolare $2^(\aleph_0)$ quali "valori" può assumere?
Cercando di documentarmi, ho scoperto (https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinali ... _continuum) che $AA n\inNN$ la proposizione $2^(\aleph_0)=\aleph_n$ è indecidibile, dunque $2^(\aleph_0)$ può essere qualsiasi $\aleph_n$, solo che c'è scritto anche che non sono gli unici "valori" che può assumere, ce ne sono altri, ma sicuramente $2^(\aleph_0)!=\aleph_\omega$.
Ora io mi chiedo, ma com'è possibile che ce ne siano altri oltre a $\aleph_n$ se $\aleph_\omega$ non può esserlo?
Per caso il fatto che $2^(\aleph_0)$ non possa essere un certo numero cardinale NON implica che non possa essere un qualche numero cardinale maggiore?
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponda.

[Studente Anonimo]

"otta96":Per caso il fatto che $2^(\aleph_0)$ non possa essere un certo numero cardinale NON implica che non possa essere un qualche numero cardinale maggiore?

Corretto (se ho capito bene, ci sono troppi "non" nella tua frase ).

Potrebbe esistere un sistema assiomatico in cui tutti gli $aleph_n$, $aleph_ {omega}$ e $aleph_{omega_1}$ stanno tra $aleph_0$ e $c$. Cioè $c$ (la cardinalità del continuo) potrebbe essere molto molto più grande del "più piccolo cardinale maggiore di $aleph_0$" (cioè $aleph_1$).

[otta96]

Quello che volevo dire con la frase che ha troppi "non" era la cosa seguente: è falso che l'insieme dei "valori assumibili" da $2^\(aleph_0)$ è necessariamente un ideale? Da quanto hai detto è falso, il che mi stupisce, davo per scontato che fosse vero.
A questo punto mi viene in mente un altro dubbio: cioè, esiste un ordinale che, non solo è necessariamente diverso da $2^\(aleph_0)$, ma tale che ne sia maggiore sempre e comunque?

[otta96]

up

[otta96]

Riesumo questo thread per chiedere una cosa, chi ci garantisce che $2^\(aleph_0)!=\aleph_\omega$?
Da quanto ho capito c'entra in qualche modo la cofinalità, ma non ho capito in che modo.

[killing_buddha]

"otta96":Riesumo questo thread per chiedere una cosa, chi ci garantisce che $2^\(aleph_0)!=\aleph_\omega$?
Da quanto ho capito c'entra in qualche modo la cofinalità, ma non ho capito in che modo.

Nella pagina wiki sulla cofinalità c'è una dimostrazione (click)

[killing_buddha]

"otta96":è falso che l'insieme dei "valori assumibili" da $2^\(aleph_0)$ è necessariamente un ideale? Da quanto hai detto è falso, il che mi stupisce, davo per scontato che fosse vero.

Ideale in che senso, e perché pensavi lo fosse? Qui c'è una discussione correlata

[otta96]

"killing_buddha":[quote="otta96"]Riesumo questo thread per chiedere una cosa, chi ci garantisce che $2^\(aleph_0)!=\aleph_\omega$?
Da quanto ho capito c'entra in qualche modo la cofinalità, ma non ho capito in che modo.

Nella pagina wiki sulla cofinalità c'è una dimostrazione (click)[/quote]
Ok, ho visto che dice che la cofinalità della cardinalità del continuo è più che numerabile, dunque ora si spiega ciò che non mi era chiaro, cioè possiamo escludere tutti quegli ordinali che hanno come cofinalità $\omega$, con $\omega$ in primo ordinale infinito. Ma ce ne sono altri di ordinali che possiamo escludere siano $2^(\aleph_0)$?

[otta96]

"killing_buddha":[quote="otta96"]è falso che l'insieme dei "valori assumibili" da $2^\(aleph_0)$ è necessariamente un ideale? Da quanto hai detto è falso, il che mi stupisce, davo per scontato che fosse vero.

Ideale in che senso, e perché pensavi lo fosse? Qui c'è una discussione correlata[/quote]
Dato un insieme ben ordinato chiamo ideale quello che c'è scritto qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(order_theory), in particolare pensavo che se $2^(\aleph_0)$ potesse assumere certi valori, allora deve poter assumere anche quelli intermedi, il motivo per cui lo pensavo non lo so, più che altro lo davo per scontato senza mai averci riflettuto.
Riguardo la discussione, è interessante, solleva un punto che avevo sollevato anche io, cioè la domanda 1, ma non mi è parso che gli abbiano risposto, dunque, qual è la risposta?

[killing_buddha]

Credo che sia "boh"

[otta96]

Grazie comunque

[otta96]

Stavo pensando di nuovo a questo post che avevo fatto e mi è venuta in mente una cosa, non è che magari quello che stavo chiedendo (cioè se è possibile dimostrare che $EEk:2^(\aleph_0) Ovviamente la loro esistenza implica quell'altra cosa, l'implicazione inversa non so se vale, infatti è proprio questo che sto chiedendo.

[killing_buddha]

"otta96":Stavo pensando di nuovo a questo post che avevo fatto e mi è venuta in mente una cosa, non è che magari quello che stavo chiedendo (cioè se è possibile dimostrare che $EEk:2^\aleph_0 Ovviamente la loro esistenza implica quell'altra cosa, l'implicazione inversa non so se vale, infatti è proprio questo che sto chiedendo.

Non mi è chiaro cosa hai scritto: è evidente che esista $k$ strettamente maggiore di $2^{\aleph_0}$...

[otta96]

Si mi sono espresso un po' male, ma intendevo se ne esiste uno che si "possa fissare una volta per tutte", ovvero non definendolo in funzione di $2^(\aleph_0)$.