Sulle somme dei quadrati perfetti
Come da titolo, ho da proporre un quesito forse di facile soluzione... però la prendo un po' alla lontana! 
Mi è capitato, come a tutti coloro che studiano un po' di Analisi Superiore, di imbattermi nel seguenta problema agli autovalori per il laplaciano:
"Siano $2le n in NN$ e $Q=(0,pi)^n$. Determinare tutti i numeri reali $lambda$ per i quali il problema:
(*) $quad \{(-Delta u=lambda u, " in " Q),(u=0, " su " \partial Q):}$
abbia soluzioni non nulle $u in C^2(Q)cap C(bar(Q))$."
Qui $Delta=\sum_(k=1)^n(\partial^2)/(\partial x_k^2)$ è l'operatore di Laplace (o laplaciano, per l'appunto).
Il metodo standard per risolvere il problema è quello della separazione delle variabili: si scrive l'incognita $u$ come prodotto di $n$ funzioni $X_1,\ldots, X_n$, in modo che $X_k$ dipenda unicamente da $X_k$ per $k=1,\ldots, n$. Fatto ciò, si vede facilmente che il problema (*) si riduce alla risoluzione di $n$ problemi agli autovalori per un'EDO lineare del second'ordine, ossia si trova che ogni $X_k$ ha da soddisfare il seguente problema con condizioni agli estremi:
(**) $quad \{(X_k''+lambda_k*X_k=0),(X_k(0)=0=X_k(pi)):} quad$.
Si prova agilmente che un problema del tipo (**) ha soluzioni non identicamente nulle se e solo se $lambda_k=h_k^2$ per qualche $h_k in NN$ (in $NN$ non c'è lo zero).
Se ne trae che gli autovalori del laplaciano sono tutti e soli i numeri naturali che si scrivono come somma di $n$ quadrati perfetti; in altre parole:
$lambda in RR " è autovalore di " Delta quad hArr quad exists h_1,\ldots , h_n in NN: quad lambda=\sum_(k=1)^n h_k^2 quad$.
Da ciò segue, ad esempio, che $n$ è il più piccolo autovalore del laplaciano e che i numeri $n+1$ ed $n+2$ non possono essere autovalori, mentre $n+3$ lo è (infatti $n+3=(n-1)+4=2^2+\sum_(k=1)^(n-1)1^2$)...
A questo punto la domanda è: esiste una forma chiusa per i numeri che sono somma di $n$ quadrati perfetti?
Probabilmente è una questione banale, però così d'acchitto non riesco a risolverla.
Grazie a chi vorrà intervenire.
Mi è capitato, come a tutti coloro che studiano un po' di Analisi Superiore, di imbattermi nel seguenta problema agli autovalori per il laplaciano:
"Siano $2le n in NN$ e $Q=(0,pi)^n$. Determinare tutti i numeri reali $lambda$ per i quali il problema:
(*) $quad \{(-Delta u=lambda u, " in " Q),(u=0, " su " \partial Q):}$
abbia soluzioni non nulle $u in C^2(Q)cap C(bar(Q))$."
Qui $Delta=\sum_(k=1)^n(\partial^2)/(\partial x_k^2)$ è l'operatore di Laplace (o laplaciano, per l'appunto).
Il metodo standard per risolvere il problema è quello della separazione delle variabili: si scrive l'incognita $u$ come prodotto di $n$ funzioni $X_1,\ldots, X_n$, in modo che $X_k$ dipenda unicamente da $X_k$ per $k=1,\ldots, n$. Fatto ciò, si vede facilmente che il problema (*) si riduce alla risoluzione di $n$ problemi agli autovalori per un'EDO lineare del second'ordine, ossia si trova che ogni $X_k$ ha da soddisfare il seguente problema con condizioni agli estremi:
(**) $quad \{(X_k''+lambda_k*X_k=0),(X_k(0)=0=X_k(pi)):} quad$.
Si prova agilmente che un problema del tipo (**) ha soluzioni non identicamente nulle se e solo se $lambda_k=h_k^2$ per qualche $h_k in NN$ (in $NN$ non c'è lo zero).
Se ne trae che gli autovalori del laplaciano sono tutti e soli i numeri naturali che si scrivono come somma di $n$ quadrati perfetti; in altre parole:
$lambda in RR " è autovalore di " Delta quad hArr quad exists h_1,\ldots , h_n in NN: quad lambda=\sum_(k=1)^n h_k^2 quad$.
Da ciò segue, ad esempio, che $n$ è il più piccolo autovalore del laplaciano e che i numeri $n+1$ ed $n+2$ non possono essere autovalori, mentre $n+3$ lo è (infatti $n+3=(n-1)+4=2^2+\sum_(k=1)^(n-1)1^2$)...
A questo punto la domanda è: esiste una forma chiusa per i numeri che sono somma di $n$ quadrati perfetti?
Probabilmente è una questione banale, però così d'acchitto non riesco a risolverla.
Grazie a chi vorrà intervenire.
Risposte
vediamo se ho capito bene: te vorresti la formula chiusa di $sum_(n=1)^Nn^2$, giusto? ?
"fu^2":
vediamo se ho capito bene: te vorresti la formula chiusa di $sum_(n=1)^Nn^2$, giusto? ?
No, fu^2... Forse mi sono espresso male. Ora riformulo.
Vorrei sapere se esiste una formula per stabilire la somma di $N$ quadrati perfetti qualsiasi... cosa ben diversa dalla somma dei primi $N$ quadrati perfetti (che si impara alla seconda ora della prima lezione di Analisi I essere $\sum_(n=1)^N n^2=(n(n+1)(2n+1))/6$, se non ricordo male.
).Detta in altre parole, mi interesserebbe sapere se esiste un modo per stabilire "a priori" se un numero naturale $n$ è somma di $N$ quadrati perfetti (qualunque essi siano), ovvero per stabilire se in corrispondenza di un $n in NN$ esistono $h_1,\ldots, h_N in NN$ tali che $n=\sum_(i=1)^N h_i^2$.
Forse non è un problema banale, ma boh... non mi è mai piaciuta l'Aritmetica.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... o_quadrati
ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti.
spero che sia questo quello che chiedevi
ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti.
spero che sia questo quello che chiedevi
"fu^2":
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_dei_quattro_quadrati
ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti.
spero che sia questo quello che chiedevi
Interessante questo fatto, anche se non mi soddisfa del tutto.
Il problema è che nel Teorema in questione si considera lo zero come numero naturale, mentre nel problema del laplaciano $0$ non è possibile prenderlo.
Ad ogni modo sono lieto di sapere che la questione non è tanto banale.
Grazie fu^2.
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