Sulla notazione \( \mathbb{Z}n \)

[marco2132k]

Ciao. Dato un sottogruppo \( H\leqq G \) di un gruppo \( G \), ove la legge di composizione è scritta in notazione moltiplicativa, un coset di \( H \) è un insieme della forma \( xH=\{x\}H \), dove il prodotto di sottoinsiemi \( H \), \( K \) di sottoinsiemi di un semigruppo, anche lui scritto in notazione moltiplicativa, è definito come \( HK:=\left\{hk:\text{$ h\in H $ e $ k\in K $}\right\} \).

Considerato ora il gruppo, additivo, \( \mathbb{Z} \), che cosa significa la notazione \( \mathbb{Z}n \), per un \( n\in\mathbb{Z} \)? È abuso di notazione per indicare, di fatto, l'insieme \( \langle n\rangle \), che in notazione additiva è l'insieme \( \{kn:k\in\mathbb{Z}\} \)? (E deve esserlo, ma non trovo conferma da nessuna parte, ché altrimenti "un sottogruppo qualsiasi di \( \mathbb{Z} \) è ciclico della forma \( \mathbb{Z}n \), per \( n \) minimo intero positivo del sottogruppo" non ha senso (\( \mathbb{Z}n=\mathbb{Z} \), per tutti gli \( n\in\mathbb{Z} \)).

[Studente Anonimo]

Sì $ZZn$ è l'insieme dei multipli di $n$, indicato più comunemente $nZZ$. Non è abuso di notazione.

Non è abuso di notazione perché la classe laterale è indicata con la notazione additiva, cioè $n+ZZ$, che è uguale a $ZZ$ come hai detto.

[marco2132k]

Sì, hai ragione. Non c'è motivo per cui \( n\mathbb{Z} \) non possa essere un prodotto di sottoinsiemi di \( \left(\mathbb{Z},{\cdot}\right) \). Grazie.

[j18eos]

Ovviamente, più in generale potresti trovare scritto (in notazione moltiplicativa) \(\displaystyle hG\)[nota]Nella teoria degli anelli (commutativi) unitari è normale trovare scritto \(\displaystyle aR\)...[/nota].