Sulla forma algebrica di un numero \( \Bbb{C} \ni (a,b)=a+bi\)

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
rileggendo alcune cose mi sono soffermato sulla scrittura, dato un \( (a,b) \in \Bbb{C} \), \( (a,b)=a+bi\) e sono sempre più convinto che sia un abuso di notazione che tiene conto "forse" più della tradizione storica (ma vorrei un parere su questa osservazione).. perchè \( a \) è un numero reale[nota]parte reale di \( (a,b)\)[/nota], come lo è anche \( b \)[nota]parte immaginaria di \( (a,b)\)[/nota], e \(i=\text{unità immaginaria}=(0,1)\), ergo non capisco come può essere che \( (a,b)=a+bi\), io avrei scritto \( (a,b)=\mathfrak{f}(a)+\mathfrak{f}(b)i\), dove \( \mathfrak{f}:\Bbb{R}\to \Bbb{C}_\Bbb{R}\) con \(\Bbb{C}_\Bbb{R}= \{(x,0) \in \Bbb{C}|x \in \Bbb{R}\}\) (oltre che sottocampo di \( \Bbb{C}\), ma anche \( \Bbb{R} \cong \Bbb{C}_\Bbb{R}\)).. Ringrazio in anticipo chiunque voglia darmi una delucidazione/conferma in merito !

Saluti

Edit: ne sono sempre più convinto, anche se non so quanto può servire la seguente osservazione; vedendo \((\Bbb{R}\times {0}) \) e \(({0} \times \Bbb{R})\) come sottospazi vettoriali allora \( \Bbb{C}=(\Bbb{R}\times {0}) + ({0} \times \Bbb{R}) \), poichè per ogni elemento \( (a,b) \in \Bbb{C}\) si ha \( (a,b)=(a,0)+(0,b)\) .. ma non solo, un elemento di \(({0} \times \Bbb{R})\) è del tipo \((0,b) \wedge b \in \Bbb{R} \) e per una proprietà del campo \( \Bbb{C} \) sappiamo che \( (0,b)=(b,0)i \) ... e siccome tale somma è anche diretta, \( \Bbb{C}=(\Bbb{R}\times {0}) + ({0} \times \Bbb{R}) \doteq (\Bbb{R}\times {0}) \oplus ({0} \times \Bbb{R}) \), in quanto disgiunti, allora ogni elemento di \( \Bbb{C} \) si decompone unicamente come somma di un elemento di \( (\Bbb{R}\times {0}) \) e di \(({0} \times \Bbb{R})\)... mhà, sarà che penso troppo dato l'orario, come sempre preferisco una conferma da parte di qualche matematico, sperando di non aver detto/sparato cavolate !

[stormy1]

$1=(1,0)$
$i=(0,1)$
$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$

[garnak.olegovitc1]

@stormy,

"stormy":$1=(1,0)$
$i=(0,1)$
$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$

ah.. capito! In sostanza dovevo tenere conto dell'operazione prodotto tra uno scalare e una coppia, operazione che non tenevo conto... [nota]consideravo \( \Bbb{C} \) come campo e mi sfuggiva l'operazione prodotto esterno, e non solo, rispetto alla quale \( \Bbb{C} \) è spazio vettoriale[/nota] giusto?

Grazie della risposta!

Saluti

Edit: permettimi soltanto una cosa, il fatto di porre \(1=(1,0)\) è una convenzione o assioma? (un simile approccio "\(1=(1,0))\)" l'ho letto di recente sul Rudin! Anche perchè nei miei studi ho sempre associato ad \( (1,0)\) la scrittura \( 1_\Bbb{C} \) (lo chiamavo "uno complesso").