Sulla definizione di universo
La teoria assiomatica cui mi riferisco nel fare le mie considerazioni è \(\displaystyle \sf ZFC \).
Esistono diverse definizioni per un universo, qui mi riferisco a quella che si può trovare in Borceux - Handbook of Categorical Algebra vol. I.
Si dimostra facilmente che:
Proposizione: (ricordando che stiamo assumendo l'assioma della scelta) la condizione (4) nella definizione di universo può essere sostituita dalla condizione \(\displaystyle x \in \mathscr{U}, y \subseteq x \Rightarrow y \in \mathscr{U} \).
Ho problemi a dimostrare la proposizione. In particolare non capisco come sia possibile dimostrarla senza sapere che gli elementi di \(y\) (codominio della funzione) stanno in \( \mathscr{U} \). Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Esistono diverse definizioni per un universo, qui mi riferisco a quella che si può trovare in Borceux - Handbook of Categorical Algebra vol. I.
Un universo (di Grothendieck) è un insieme \( \mathscr{U} \) per cui valgono le seguenti proprietà:
(1) \(\displaystyle x \in y \ {\rm e} \ y \in \mathscr{U} \Rightarrow x \in \mathscr{U} \)
(2) \(\displaystyle I \in \mathscr{U} \ {\rm e} \ \forall i \in I , \ x_i \in \mathscr{U} \Rightarrow \bigcup _{i \in I} x_i \in \mathscr{U} \)
(3) \(\displaystyle x \in \mathscr{U} \Rightarrow \mathcal{P}(x) \in \mathscr{U} \)
(4) \(\displaystyle x \in \mathscr{U} \ {\rm e } \ f:x \to y \ {\rm suriettiva} \ \Rightarrow y \in \mathscr{U} \)
(5) \(\displaystyle \mathbb{N} \in \mathscr{U} \)
Con \(\displaystyle \mathbb{N} \) che denota l'insieme degli ordinali finiti e \(\displaystyle \mathcal{P}(x) \) che indica l'insieme delle parti di \(x\).
Si dimostra facilmente che:
\(\displaystyle \mathscr{U} \) universo \( \displaystyle \Rightarrow \left ( x \in \mathscr{U}, y \subseteq x \Rightarrow y \in \mathscr{U} \right ) \).
Proposizione: (ricordando che stiamo assumendo l'assioma della scelta) la condizione (4) nella definizione di universo può essere sostituita dalla condizione \(\displaystyle x \in \mathscr{U}, y \subseteq x \Rightarrow y \in \mathscr{U} \).
Ho problemi a dimostrare la proposizione. In particolare non capisco come sia possibile dimostrarla senza sapere che gli elementi di \(y\) (codominio della funzione) stanno in \( \mathscr{U} \). Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Risposte
Ti scrivo i miei ragionamenti, magari trovi qualche spunto che io non vedo
Per dimostrare la proposizione, inserisco \( \displaystyle x \in \mathscr{U}, y \subseteq x \Rightarrow y \in \mathscr{U} \)
al posto dell'assioma $4)$, provando a ricavarlo dai nuovi 5 assiomi usando il nuovo assioma $4)$.
Considerando la famiglia:
\( \mathscr{F} \) $ = {x, y} $
attraverso l'assioma della scelta posso sempre costruire un insieme $A$ fatto in questo modo:
$A = { x_i, y_i }$
con $x_i$ generico elemento di $x$ e $y_i$ generico elemento di $y$.
considerando ora invece che il generico insieme $A$ un insieme $A^*$ costruito nel seguente modo:
$A^* = { x_i, y_i }, f(x_i) = y_i$ (sempre parte degli insiemi costruibili tramite l'assioma della scelta)
posso costruire questo insieme per ogni $y_i in y$ per la suriettività della funzione $f$ .
Per dimostrare la proposizione bisogna dimostrare che $A^*$ sia in \( \mathscr{U} \), infatti da questo si deduce, attraverso l'assioma $1)$ che il generico elemento $y_i$ di $y$ è in \( \mathscr{U} \), usando poi l'assioma $2)$ si dimostra che $y$ è in \( \mathscr{U} \).
Io mi sono arenato qui
Se fossimo in \( \displaystyle \sf TG \) avremmo finito, infatti per l'assioma di Tarski $A^*$ appartiene a \( \mathscr{U} \), ma non si userebbe il nuovo assioma $4$.
Per dimostrare la proposizione, inserisco \( \displaystyle x \in \mathscr{U}, y \subseteq x \Rightarrow y \in \mathscr{U} \)
al posto dell'assioma $4)$, provando a ricavarlo dai nuovi 5 assiomi usando il nuovo assioma $4)$.
Considerando la famiglia:
\( \mathscr{F} \) $ = {x, y} $
attraverso l'assioma della scelta posso sempre costruire un insieme $A$ fatto in questo modo:
$A = { x_i, y_i }$
con $x_i$ generico elemento di $x$ e $y_i$ generico elemento di $y$.
considerando ora invece che il generico insieme $A$ un insieme $A^*$ costruito nel seguente modo:
$A^* = { x_i, y_i }, f(x_i) = y_i$ (sempre parte degli insiemi costruibili tramite l'assioma della scelta)
posso costruire questo insieme per ogni $y_i in y$ per la suriettività della funzione $f$ .
Per dimostrare la proposizione bisogna dimostrare che $A^*$ sia in \( \mathscr{U} \), infatti da questo si deduce, attraverso l'assioma $1)$ che il generico elemento $y_i$ di $y$ è in \( \mathscr{U} \), usando poi l'assioma $2)$ si dimostra che $y$ è in \( \mathscr{U} \).
Io mi sono arenato qui
Se fossimo in \( \displaystyle \sf TG \) avremmo finito, infatti per l'assioma di Tarski $A^*$ appartiene a \( \mathscr{U} \), ma non si userebbe il nuovo assioma $4$.
Sono giunto alla conclusione che la definizione data da Borceux sia sbagliata. Infatti, se fosse vera, dal momento che \( \displaystyle \{ \emptyset \} \in \mathscr{U} \) costruendo delle suriezioni \(\displaystyle \{ \emptyset \} \to X \) si arriva presto a concludere che \(\displaystyle \mathscr{U} \) contiene tutti gli insiemi, il che è assurdo dato che per definizione è esso stesso un insieme.
La conferma di ciò l'ho avuta leggendo la definizione di universo che si trova in Mac Lane - Categories for the Working Mathematician (seconda edizione, pag. 22) che è pressoché identica a quella data da Borceux, ma l'assioma in questione viene enunciato come:
Con questa versione dell'assioma, non ci sono più i problemi sorti con quella riportata nell'OP, e l'equivalenza dei due enunciati in questione segue dal ragionamento proposto da sapo93.
La conferma di ciò l'ho avuta leggendo la definizione di universo che si trova in Mac Lane - Categories for the Working Mathematician (seconda edizione, pag. 22) che è pressoché identica a quella data da Borceux, ma l'assioma in questione viene enunciato come:
if \(\displaystyle f : a \to b \) is a surjective function with \(\displaystyle a \in \mathscr{U} \) and \(\displaystyle b \subset \mathscr{U} \), then \(\displaystyle b \in \mathscr{U} \).
Con questa versione dell'assioma, non ci sono più i problemi sorti con quella riportata nell'OP, e l'equivalenza dei due enunciati in questione segue dal ragionamento proposto da sapo93.
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