Sulla definizione di sottocampo
La domanda potrà sembrare banale, e mi scuso in anticipo per questo, ma vorrei sapere come viene definito formalmente un sottocampo S di un campo F.
Intuitivamente so già la risposta: " un sottoinsieme S di un campo F è un suo sottocampo se e solo se è esso stesso un campo all'interno di F". Tuttavia vorrei una conferma, dato che non ho trovato una definizione formale di sottocampo nei due libri di algebra in mio possesso ed uso (cioè il Conte- Picco Botta-Romagnoli, dove il termine stesso non è mai citato, e il Piacentini-Cattaneo, dove si definisce sì il sottocampo fondamentale, ma in termini di sottocampo senza peraltro definire quest'ultimo). Anche nei due corsi universitari di algebra da me frequentati non è stata data nessuna definizione.
La cosa mi suona un po' strana, sia perché l'Algebra, come tutta la matematica, è una disciplina assiomatico-deduttiva, in cui i termini vanno precisati prima di usarli (a parte quelli primitivi o indefiniti che dir si voglia, ma "sottocampo" non mi sembra tale), sia perché, per esempio, altri termini che suonano simili al nostro, quali sottogruppo, sottoanello, ecc. sono invece normalmente oggetto di definizioni chiare e precise.
Ed infine, come nel caso testé citato dei sottogruppi e dei sottoanelli (ed anche dei sottogruppi normali e degli ideali) si danno dei criteri per decidere se un certo sottoinsieme sia uno di questi oggetti, mi chiedo se anche nel caso dei sottocampi ci sia un qualche criterio analogo a quelli appena citati.
Grazie per l'attenzione e per l'eventuale risposta.
Intuitivamente so già la risposta: " un sottoinsieme S di un campo F è un suo sottocampo se e solo se è esso stesso un campo all'interno di F". Tuttavia vorrei una conferma, dato che non ho trovato una definizione formale di sottocampo nei due libri di algebra in mio possesso ed uso (cioè il Conte- Picco Botta-Romagnoli, dove il termine stesso non è mai citato, e il Piacentini-Cattaneo, dove si definisce sì il sottocampo fondamentale, ma in termini di sottocampo senza peraltro definire quest'ultimo). Anche nei due corsi universitari di algebra da me frequentati non è stata data nessuna definizione.
La cosa mi suona un po' strana, sia perché l'Algebra, come tutta la matematica, è una disciplina assiomatico-deduttiva, in cui i termini vanno precisati prima di usarli (a parte quelli primitivi o indefiniti che dir si voglia, ma "sottocampo" non mi sembra tale), sia perché, per esempio, altri termini che suonano simili al nostro, quali sottogruppo, sottoanello, ecc. sono invece normalmente oggetto di definizioni chiare e precise.
Ed infine, come nel caso testé citato dei sottogruppi e dei sottoanelli (ed anche dei sottogruppi normali e degli ideali) si danno dei criteri per decidere se un certo sottoinsieme sia uno di questi oggetti, mi chiedo se anche nel caso dei sottocampi ci sia un qualche criterio analogo a quelli appena citati.
Grazie per l'attenzione e per l'eventuale risposta.
Risposte
Un sottocampo di un campo è un sottoanello del campo che è a sua volta un campo, quindi basta definire un sottoanello. 
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