Sulla definizione di "campo numerico"
Vorrei porre 3 domande che sono correlate tra di loro e riguardano "semplicemente" la definizione di campo numerico.
Ora è vero che, in generale, capita di trovare definizioni diverse di una stessa cosa a seconda del campo di studio, però queste domande mi sono sorte spontanee.
Come definizione di campo numerico, in alcuni testi di teoria dei campi viene data questa
a) un qualunque campo che sia un'estensione (di grado finito o infinito) del campo dei numeri razionali \(\displaystyle \mathbb{Q} \) .
in altri testi di analisi viene data questa
b) un qualunque campo che sia sottocampo del campo dei numeri complessi \(\displaystyle \mathbb{C} \) .
Ora le 3 domande sono queste:
1) queste due definizioni (a) e (b) sono equivalenti ?
All'inizio mi venuto da risondoere di no.
Ma dopo mi è venuto da rispondere sì, perchè mi sono posto questa domanda a cui mi è venuto da rispondere che non esiste:
2) esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{F} \), che sia estensione (di grado finito o infinito) del campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
In altre parole :
esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{F} \), che ha come sottocampo il campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
Mi sembra che non esiste, non avendo trovato un esempio di tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \). Forse non esiste perchè \(\displaystyle \mathbb{C} \) è un campo algebricamente chiuso ?
In altri termini, il fatto che \(\displaystyle \mathbb{C} \) sia un campo algebricamente chiuso, sicuramente comporta il fatto che per noi non è necessario trovare un altro campo \(\displaystyle \mathbb{F} \) più grande, ma comporta anche che un tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \) più grande non esista?
Comunque, anche se non esistesse tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \), mi sono posto questa domanda, a cui mi è venuto da rispondere che esiste:
3) esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{K} \), che sia estensione del campo \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
ma che non sia un sottocampo del campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
Forse un esempio di tale campo \(\displaystyle \mathbb{K} \) è il campo dei numeri p-adici , sbaglio? O avete altri esempi?
Se esistesse un tale campo \(\displaystyle \mathbb{K} \), allora le 2 definizioni (a) e (b) non sarebbero comunque equivalenti.
Scusate la lunghezza, ma spero di essere stato chiaro e di trovare qualcuno che mi chiarisca le domande
Ora è vero che, in generale, capita di trovare definizioni diverse di una stessa cosa a seconda del campo di studio, però queste domande mi sono sorte spontanee.
Come definizione di campo numerico, in alcuni testi di teoria dei campi viene data questa
a) un qualunque campo che sia un'estensione (di grado finito o infinito) del campo dei numeri razionali \(\displaystyle \mathbb{Q} \) .
in altri testi di analisi viene data questa
b) un qualunque campo che sia sottocampo del campo dei numeri complessi \(\displaystyle \mathbb{C} \) .
Ora le 3 domande sono queste:
1) queste due definizioni (a) e (b) sono equivalenti ?
All'inizio mi venuto da risondoere di no.
Ma dopo mi è venuto da rispondere sì, perchè mi sono posto questa domanda a cui mi è venuto da rispondere che non esiste:
2) esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{F} \), che sia estensione (di grado finito o infinito) del campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
In altre parole :
esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{F} \), che ha come sottocampo il campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
Mi sembra che non esiste, non avendo trovato un esempio di tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \). Forse non esiste perchè \(\displaystyle \mathbb{C} \) è un campo algebricamente chiuso ?
In altri termini, il fatto che \(\displaystyle \mathbb{C} \) sia un campo algebricamente chiuso, sicuramente comporta il fatto che per noi non è necessario trovare un altro campo \(\displaystyle \mathbb{F} \) più grande, ma comporta anche che un tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \) più grande non esista?
Comunque, anche se non esistesse tale campo \(\displaystyle \mathbb{F} \), mi sono posto questa domanda, a cui mi è venuto da rispondere che esiste:
3) esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{K} \), che sia estensione del campo \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
ma che non sia un sottocampo del campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?
Forse un esempio di tale campo \(\displaystyle \mathbb{K} \) è il campo dei numeri p-adici , sbaglio? O avete altri esempi?
Se esistesse un tale campo \(\displaystyle \mathbb{K} \), allora le 2 definizioni (a) e (b) non sarebbero comunque equivalenti.
Scusate la lunghezza, ma spero di essere stato chiaro e di trovare qualcuno che mi chiarisca le domande
Risposte
"frank dailet":
Vorrei porre 3 domande che sono correlate tra di loro e riguardano "semplicemente" la definizione di campo numerico.
Ora è vero che, in generale, capita di trovare definizioni diverse di una stessa cosa a seconda del campo di studio, però queste domande mi sono sorte spontanee.
Come definizione di campo numerico, in alcuni testi di teoria dei campi viene data questa
a) un qualunque campo che sia un'estensione (di grado finito o infinito) del campo dei numeri razionali \(\displaystyle \mathbb{Q} \) .
in altri testi di analisi viene data questa
b) un qualunque campo che sia sottocampo del campo dei numeri complessi \(\displaystyle \mathbb{C} \) .
Ora le 3 domande sono queste:
1) queste due definizioni (a) e (b) sono equivalenti ?
No, non sono equivalenti. Ci sono estensioni di $\mathbb Q$ che non sono contenute in $\mathbb C$. Si trovano ad esempio aggiungendo una quantità sufficientemente grande di indeterminate algebricamente indipendenti. Pensaci un attimo: $\mathbb C$ ha la cardinalità del continuo, per cui ogni suo sottocampo ha cardinalità al più quella del continuo. Ma esistono campi di cardinalità arbitraria.
Quello che non esiste è un'estensione algebrica di $\mathbb C$, perchè $\mathbb C$ è algebricamente chiuso.
Viceversa, tutti i sottocampi di $\mathbb C$ contengono $\mathbb Q$.
Oltretutto non so che testo bizzarro tu abbia consultato, ma normalmente un campo di numeri è un'estensione finita di $\mathbb Q$.
che mi chiarisca le domande
nel senso che mi risponda, scusate il gioco di parole non riuscito
Pensaci un attimo: C ha la cardinalità del continuo, per cui ogni suo sottocampo ha cardinalità al più quella del continuo. Ma esistono campi di cardinalità arbitraria.
Scusami, non mi è chiaro: solo perchè un campo abbia una cardinalità maggiore del continuo, non vuol dire che abbia come sottocampo $ \mathbb C $ . Forse sto campendo male che intendi.
Oltretutto non so che testo bizzarro tu abbia consultato, ma normalmente un campo di numeri è un'estensione finita di Q.
Sì. è vero ho trovato anche questa definizione, ma con tale definizione $ \mathbb R $ e $ \mathbb C $ non sarebbero campi numerici , dato che loro sono estensioni di grado infinito di $ \mathbb Q $. Giusto?
"frank dailet":No (e ti è stato già spiegato perché): considera un numero cardinale \(\kappa > |\mathbb C|\); considera \(\mathbb Q(i\in \kappa)\), il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in \(\kappa\) variabili. Non esiste un omomorfismo di anelli \(\mathbb Q(i\in \kappa)\), che dovrebbe essere iniettivo (per ragioni di cardinalità: non esiste una funzione iniettiva \(\kappa \to \mathbb C\).
1) queste due definizioni (a) e (b) sono equivalenti ?
2) esiste un campo, chiamamolo \(\displaystyle \mathbb{F} \), che sia estensione (di grado finito o infinito) del campo \(\displaystyle \mathbb{C} \) ?Finito, no; infinito, ovvio: \(\mathbb C(t)\). Sembri credere che esista un campo "più grande" di tutti gli altri...
Quindi riassumendo :
questo vuol dire che esistono estensioni di \( \mathbb Q \) che non sono sottocampi di \( \mathbb C \)
questo vuol dire che sistono estensioni di \( \mathbb C \), anche se \( \mathbb C \) è algebricamente chiuso.
Ho riassunto tutto bene ?
No (e ti è stato già spiegato perché): considera un numero cardinale κ>|C|; considera Q(i∈κ), il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in κ variabili. Non esiste un omomorfismo di anelli Q(i∈κ), che dovrebbe essere iniettivo (per ragioni di cardinalità: non esiste una funzione iniettiva κ→C
questo vuol dire che esistono estensioni di \( \mathbb Q \) che non sono sottocampi di \( \mathbb C \)
Finito, no; infinito, ovvio: C(t). Sembri credere che esista un campo "più grande" di tutti gli altri...
questo vuol dire che sistono estensioni di \( \mathbb C \), anche se \( \mathbb C \) è algebricamente chiuso.
Ho riassunto tutto bene ?
Si.
grazie a tutti
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