Sulla definizione di funtore

[Indrjo Dedej]

Ciao
Sto facendo un po' di teoria delle categorie, e non riesco a comprender il ruolo di una parte nella definizione di funtore. I miei riferimenti per ora è Leinster. Riporto la definizione di funtore con la parte che mi interessa (la definizione completa è a pagina 17 del pdf):

"Tom Leinster":
Let \(\mathcal A\) and \(\mathcal B\) categories. A functor \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) consists of
[taglio un po di cose per arrivare dritto al punto]
satisfying the following axioms:

[*:3aatzs1c] \(F(gf)=F(g)F(f)\) whenever in \(\mathcal A\)

[tex]\xymatrix{
A \ar[r]^f & B \ar[r]^g & C
}[/tex]
[/*:m:3aatzs1c]
[*:3aatzs1c] \(F(1_A)=1_{F(A)}\) whenever \(A \in \mathcal A\)[/*:m:3aatzs1c][/list:u:3aatzs1c]

Qual è la necessità del secondo assioma? Non è sufficiente solo il primo? Intendo: preso un qualsiasi oggetto \(X\) della categoria \(\mathcal A\) si ha \[f=f1_X \quad \text{e} \quad 1_X g=g\] per ogni \(f \colon X \mapsto Y\) e \(g \colon Z \mapsto X\). Se \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B \) è un funtore, allora
\begin{align*}
& F(f)=F(f)F(1_X) \quad\text{per ogni } f \colon X \mapsto Y\\
& F(g)=F(1_X)F(g) \quad \text{per ogni } g \colon Z \mapsto X\,.
\end{align*} Essendo già \(1_{F(X)}\) identità su \(F(X)\) in \(\mathcal B\) ed essendo unica, si ha \(F(1_X)=1_{F(X)}\).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Stai dicendo che $h=hk$ implicherebbe $k=1$, perché?

[Indrjo Dedej]

Fissato un oggetto \(Y\) in \(\mathcal B\), si prova che l'identità su \(Y\) (che esiste) è unica. Prendendo \(Y=F(X)\), che \(F(1_X)\) è pure identità su \(Y\) e quindi \(1_{F(X)}=F(1_X)\). Io ho fatto questo ragionamento. Ma per questo ho chiesto, evidentemente mi sfugge qualcosa...

[Indrjo Dedej]

Infatti sbaglio io a parlare. Scusate. Perché ho messo l'aggettivo "destra"? Scusa Martino.

[fmnq]

Se per ogni h si ha che hk=1 e kh=1 allora k=1. Ma chi ti dice che F sia suriettivo sui morfismi, cioè che ogni h si scriva come F di qualche morfismo?

I funtori suriettivi sui morfismi si chiamano "full". Cerca la definizione sul Leinster!

[Indrjo Dedej]

Sì, me ne sono accorto... Ho fatto una scemenza (da un collezione ho generalizzato ad una collezione più vasta... mi viene da piangere... ). Considerando l'"immagine" di \(\mathcal A\) mediante il funtore \(F\) la cosa funzionerebbe invece.
Comunque sia, ho carpito l'importanza di quel punto. Grazie.

[j18eos]

Giusto per scrivere tutto: un funtore "iniettivo" si dice fedele; e un funtore "biettivo" si dice pienamente fedele.

[Indrjo Dedej]

[ot]Grazie, mi servono delle "traduzioni". Tra un testo in inglese e uno in tedesco, non ho nulla in italiano.[/ot]