Sulla cardinalità di $Sym(X)$

[otta96]

C'era una cosa che mi sono chiesto praticamente subito dopo che mi è stato definito il gruppo simmetrico $Sym(X)$ su un insieme $X$ (non c'è bisogno che riporti la definizione, la conoscete tutti), ma che poi avevo accantonato, ora la chiedo a voi.
La domanda si può formulare così: cosa si può dire sulla cardinalità di $Sym(X)$?
Ad esempio si sa che $|X|=n\inNN=>|Sym(X)|=n!$, si può osservare che nel caso finito ($n>=4$) $|Sym(X)|=n!>2^n=|P(X)|$, ma comunque in fondo $n!$ non è poi tanto più grande di $2^n$; questo mi aveva portato a congetturare che per gli insiemi infiniti valga $|Sym(X)|=|P(X)|$, è vera questa cosa?
Se non ricordo male, per lo meno vale questa proprietà che vale anche per l'insieme delle parti: $|Sym(X)|!=\aleph_0AAX$ insieme, poi sostanzialmente non so dire altro sulle cardinalità di $Sym(X)$.
Grazie in anticipo per le risposte.

[killing_buddha]

La successione \(\frac{2^n}{n!}\) e' infinitesima, direi che e' un buon metro del fatto che $n!$ e' parecchio piu' grande di $2^n$.

Per gli insiemi infiniti vale in effetti l'uguaglianza, ma ti serve l'assioma della scelta.
https://mathoverflow.net/questions/3249 ... tric-group

[otta96]

"killing_buddha":La successione \(\frac{2^n}{n!}\) e' infinitesima, direi che e' un buon metro del fatto che $n!$ e' parecchio piu' grande di $2^n$.

Secondo me dipende dal contesto, nel senso che quando si parla di cardinalità, per un insieme finito $|X|=n$ si ha che $|X\timesX|=n^2$ e si ha che $\lim_{n->+\infty}n/n^2=0$, ma $n^2$ non direi che è molto più grande di $n$ (nel contesto delle cardinalità) anche perché per gli insiemi infiniti si ha $|X\timesX|=|X|$.
Poi questi sono solo discorsi vaghi e soggettivi, ovviamente, quindi non ha nemmeno tanto senso parlarne, però magari può fungere come una specie di "intuizione cardinale", che aiuta a capire cosa succede con le cardinalità infinite.
Ad ogni modo grazie per il link, l'ho apprezzato.

[killing_buddha]

L'aritmetica e la combinatoria degli insiemi infiniti sono estremamente piu complicate delle loro controparti finite https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_combinatorics quindi mi sembra difficile avere un'idea della combinatoria degli insiemi infiniti sulla base del comportamento in insiemi finiti. Questo si puo' formalizzare, volendo, ma serve un po' di teoria https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species

[killing_buddha]

"otta96":per gli insiemi infiniti si ha $|X\timesX|=|X|$.

E' esattamente il punto in cui ti serve l'assioma della scelta nella dimostrazione che vuoi

[otta96]

Eh si, ho visto...