Sul termine "assioma"

[jitter1]

Io sapevo dalla scuola che il termine assioma si usa per quelle assunzioni accolte nella teoria senza dimostrazione, perché evidenti o per qualche altra opportunità.

Ma nel mio libro di algebra ho questa costruzione dell'insieme dei naturali:

1) si pone (assioma) l'esistenza dell'insieme vuoto: 0
2) si pone (assioma) l'esistenza del singoletto {0}
3) Libro: "L'assioma dell'infinito postula l'esistenza di un insieme X con $0 in X$ tale che $ x \in X rArr x uu {x} \in X $"

Domanda: l'esistenza di un insieme X non può derivare da 1) e 2) con l'assioma dell'unione (= dati due insiemi esiste la loro unione)? Cioè, da 1 e 2 e assioma dell'unione non deriva l'esistenza di un $X = 0 uu {0}$?
Se sì, perché 3) è chiamato "assioma"? O forse ho applicato male implicazione contenuta della definizione di X?

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Ciao! Il punto 3 non segue da 1 e 2 e assioma dell'unione. Inoltre il punto 3 non è una definizione di X.

Il punto 3 dice che esiste un certo insieme $X$ con la seguente interessante proprietà:

ogni volta che $x$ è un elemento di $X$, l'insieme $x uu {x}$ è un elemento di $X$.

Quindi per esempio se $0 in X$ allora anche $0 uu {0} in X$, adesso applicando di nuovo l'ipotesi a questo elemento $x = 0 uu {0}$ otteniamo che $y = 0 uu {0} uu {0 uu {0}} in X$. Adesso applicando di nuovo l'ipotesi a questo elemento $y$ otteniamo che $0 uu {0} uu {0 uu {0}} uu {0 uu {0} uu {0 uu {0}}} in X$. E così via ("fino all'infinito" appunto). E' più chiaro? Ciao.

[jitter1]

Ommamma, non avevo capito niente allora! Avevo omesso l'implicazione contenuta in 3 (ehm, piccolo dettaglio ).
Ora sì, è chiaro! Grazie per il "salvataggio" (all'esame avrei preso un calcio nel sedere affermando quanto ho scritto)