Sul simbolo \(=\) e assioma di estensionalitá in \(\rm ZFC\)
Spero sia la sezione corretta, il nostro docente a lezione disse che \(\{\in\}\) è il linguaggio della teoria degli insiemi \(\rm ZFC\), ed \(\in\) è l'unica relazione primitiva che non definiamo, e tutti gli altri simboli sono abbreviazioni di formule ben formate che involgono il simbolo di appartenenza come ad esempio \(X\subseteq Y:=\forall z:(z\in X \to z \in Y)\). Il problema mio nasce dall'assioma di estensionalitá, ovvero $$\forall X,Y:(X=Y \leftrightarrow \forall z:(z\in X \leftrightarrow z \in Y))$$ In questo assioma compare il simbolo \(=\), ma viene usato come un'ulteriore relazione primitiva non definita e tanto meno sembra essere \(X=Y\) abbreviazione di una formula derivante che involge il solo simbolo \(\in\) e si introduce (con l'assioma) piú che altro un criterio per \(X=Y\), e se penso correttamente allora il linguaggio sarebbe \(\{\in,=\}\).. qualcuno puó aiutarmi a capire se penso correttamente o meno?! Ringrazio in anticipo
Risposte
\(X=Y \leftrightarrow (X\subseteq Y)\land (Y\subseteq X)\).
@narikucaho.averdov, in parte hai ragione e in parte penso che il tuo docente sia stato un po naive e in parte penso che potevi volgere a lui stesso la questione...
Non sono un esperto in campo ma ai tempi i fondamenti e l'assiomatica mi affascinarono tanto permettendomi di affrontare vari argomenti e spingermi un po oltre anche con le fonti, e per me $$A=B \, \, := \, \, \forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X)$$ und damit l'assioma è chiaro.
Alcuni autori fanno il contrario ovvero $$A=B \, \, := \, \, \forall X: (X \in A \leftrightarrow X \in B)$$ ponendo nell'assioma l'equivalenza con \(\forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X)\).
Certo, ma non ricordo nel dettaglio, esistono assiomatiche dove il linguaggio è non il singoletto \(\{\in\}\) ma tu non eri penso interessato a queste, o si?
Una fonte per il tuo post, tanto per spolverare qualche libro: Yves Nievergelt - Logic, Mathematics, and Computer Science - Modern Foundations with Practical Applications - Springer - Verlag New York (2015) - *PG 111*
Non sono un esperto in campo ma ai tempi i fondamenti e l'assiomatica mi affascinarono tanto permettendomi di affrontare vari argomenti e spingermi un po oltre anche con le fonti, e per me $$A=B \, \, := \, \, \forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X)$$ und damit l'assioma è chiaro.
Alcuni autori fanno il contrario ovvero $$A=B \, \, := \, \, \forall X: (X \in A \leftrightarrow X \in B)$$ ponendo nell'assioma l'equivalenza con \(\forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X)\).
Certo, ma non ricordo nel dettaglio, esistono assiomatiche dove il linguaggio è non il singoletto \(\{\in\}\) ma tu non eri penso interessato a queste, o si?
Una fonte per il tuo post, tanto per spolverare qualche libro: Yves Nievergelt - Logic, Mathematics, and Computer Science - Modern Foundations with Practical Applications - Springer - Verlag New York (2015) - *PG 111*
"killing_buddha":non capisco, devo formulare in questo modo l´assioma? Se si, mi sembra che tu usi \(=\) incluso giá nel linguaggio della teoria come una relazione primitiva indefinita.. o sbaglio?
\(X=Y \leftrightarrow (X\subseteq Y)\land (Y\subseteq X)\).
"garnak.olegovitc":
@narikucaho.averdov, in parte hai ragione e in parte penso che il tuo docente sia stato un po naive e in parte penso che potevi volgere a lui stesso la questione...
Non sono un esperto in campo ma ai tempi i fondamenti e l'assiomatica mi affascinarono tanto permettendomi di affrontare vari argomenti e spingermi un po oltre anche con le fonti, e per me \[ A=B \, \, := \, \, \forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X) \] und damit l'assioma è chiaro.
Alcuni autori fanno il contrario ovvero \[ A=B \, \, := \, \, \forall X: (X \in A \leftrightarrow X \in B) \] ponendo nell'assioma l'equivalenza con \( \forall X: (A \in X \leftrightarrow B \in X) \).
Certo, ma non ricordo nel dettaglio, esistono assiomatiche dove il linguaggio è non il singoletto \( \{\in\} \) ma tu non eri penso interessato a queste, o si?
Una fonte per il tuo post, tanto per spolverare qualche libro: Yves Nievergelt - Logic, Mathematics, and Computer Science - Modern Foundations with Practical Applications - Springer - Verlag New York (2015) - *PG 111*
daró un occhiata al testo, grazie! Ho chiesto al docente ma lui non mi seppe rispondere dicendo "l'uguaglianza è uguaglianza, cosa devi definire a priori? Nulla, si introduce un criterio per l'appunto ma il linguaggio è sempre il singoletto \( \{\in\}\) almeno in questa lezione"..
Domanda: stiamo parlando di una lezione sulla teoria ZFC nell'ambito di quale corso? Un corso di Logica Matematica? Un corso generale sui Fondamenti?
"G.D.":
Domanda: stiamo parlando di una lezione sulla teoria ZFC nell'ambito di quale corso? Un corso di Logica Matematica? Un corso generale sui Fondamenti?
nell'ambito di un corso di Logica Matematica
"narikucaho.averdov":
Ho chiesto al docente ma lui non mi seppe rispondere dicendo "l'uguaglianza è uguaglianza, cosa devi definire a priori? Nulla, si introduce un criterio per l'appunto ma il linguaggio è sempre il singoletto \( \{\in\}\) almeno in questa lezione"..
capisco lo stato d'animo, tiragli qualche libro in testa.. no dai a parte lo scherzo, se hai chiesto durante una lezione è comprensibile, prova con qualche appuntamente a chiedergli di piú e fargli osservare la fonte che ti ho consigliato.. ti direi ti chiedergli il permesso per usare qualcosa di quel libro, alcuni docenti sono codini o simili, ricordo con amarezza certe esperienze in italia con certi docenti che in insiemistica erano piú zero della farina!
Ma che cavolo = non è una primitiva!
$ AA aAAb[AAx(x ina<=>x inb)=>a=b $
Non puoi metterlo prima.
$ AA aAAb[AAx(x ina<=>x inb)=>a=b $
Non puoi metterlo prima.
Certo che puoi invece, ed è la scelta più comune.
Nella logica del primo ordine con uguaglianza $=$ è un simbolo logico primitivo che quindi non viene esplicitato nel linguaggio della teoria. Se vuoi formalizzare ZFC in FOL senza uguaglianza dovrai cambiare l’assioma di estensionalita’
Nella logica del primo ordine con uguaglianza $=$ è un simbolo logico primitivo che quindi non viene esplicitato nel linguaggio della teoria. Se vuoi formalizzare ZFC in FOL senza uguaglianza dovrai cambiare l’assioma di estensionalita’
"Capitan Harlock":
Ma che cavolo = non è una primitiva!
E questo è un thread di 3 anni fa, ©@%%@®0|@!!!
Lo so, non ho visto la data, alcune volte appaiono post vecchi in testa agli altri.
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