Sui teremi di Sylow

[fu^2]

Sia p un numero primo. Sia $Syl_p(S_p)={P\in S_p|" P è un p-sottogruppo di Sylow in "S_p}$. Determinare $|Syl_p(S_p)|$, cioè il numero dei p-sottogruppi di Sylow in $S_p$.
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la mia dimostrazione è lunghissima, che è data da un corollario di un altro esercizio che avevo risolto grazie alle dritte di Martino. La cosa bella è che è costruttiva. Vediamo se si riesce a tirarne fuori qualcuna di più bella

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[vict85]

Prima di tutto essendo $|S_p| = p!$. L'ordine dei $p$-sottogruppi di Sylow è $p$.

I $p$-sottogruppi di Sylow sono coniugati tra di loro (2° teorema di Sylow). Ora determiniamo un $p$-sottogruppo di Sylow di $S_p$: $<(1\ 2\ 3\ ...\ p)>$. Essendo $p$ un numero primo ogni elemento ha la stessa struttura ciclica (un $p$-ciclo). Inoltre in $S_p$ permutazioni coniugate hanno la stessa struttura ciclica. Tenendo conto che ogni altro $p$-sottogruppo è generato da un $p$-ciclo e che due gruppi ciclici di ordine primo in $S_p$ sono disgiunti possiamo dire che $|Syl_p(S_p)|=(p-2)!$

In pratica ho preso l'orbita del $p$-ciclo $<(1\ 2\ 3\ ...\ p)>$ in $S_p$ che ha cardinalità $S_(p-1)$ dopo di che ho diviso la sua cardinalità per $(p-1)$ cioé il numero di generatori di ogni $p$-sottogruppo di Sylow.

Se non ho compreso male il problema o fatto qualche errore di stanchezza dovrebbe essere giusto.